Encontrar la latitud más al norte en un gran círculo que pasa por dos puntos sobre la esfera

Question

Estoy tratando de resolver el siguiente problema de Smart del Libro de Texto de Astronomía Esférica (ejercicio 5 de la página.23 de la 6ª ed.):

$A$ $B$ son dos lugares en la superficie de la tierra con la misma latitud $\phi$; la diferencia de longitud entre el$A$$B$$2l$. Demostrar que

1. la mayor latitud alcanzada por el gran círculo de $AB$$\tan^{-1} ( \tan \phi \sec l )$, y
2. la distancia medida a lo largo del paralelo de latitud entre el $A$ $B$ supera la distancia ortodrómica $AB$ $$2 \csc 1' [ l \cos \phi - \sin^{-1} ( \sin l \cos \phi ) ]\text{ nautical miles}.$$

He probado todo lo que puedo pensar para resolver la primera parte, y me cayó como que me falta algo obvio. Yo intente resolver el triángulo, el uso de identidades trigonométricas, seno derecho, polar triángulos, y nada funciona.

Answer 1

Creo que es un poco más sencillo si se trabaja en coordenadas Cartesianas.

Tome una tierra de radio uno, por simplicidad.

Entonces podemos tomar las longitudes como $\pm l$ sin pérdida de generalidad. Entonces el punto medio entre los dos puntos, proyectada a la superficie de la tierra, tendrá la más alta latitud (equivalentemente, el más alto $z$ componente).

Los dos puntos se $(\cos \phi \cos l, \cos \phi \sin l, \sin \phi)$ y $(\cos \phi \cos l, -\cos \phi \sin l, \sin \phi)$, y el punto medio es $(\cos \phi \cos l, 0, \sin \phi)$. Para proyecto a la superficie, dividimos por la norma, para obtener un $z$ componente (en nuestra unidad de tierra) de $\sin \delta = {\sin \phi \over \sqrt{ (\cos \phi \cos l)^2 + \sin^2 \phi}} = { \tan \phi \over \sqrt{\cos^2l+\tan^2 \phi} }$.

Para obtener el $\arctan$, primero tenemos $\cos \delta$, que obtenemos de $\cos \delta = \sqrt{1 -\sin^2 \delta} = { \cos l \over \sqrt{ \cos^2l+\tan^2 \phi} } $, y por lo tanto $\tan \delta = {\tan \phi \over \cos l}$, que es el resultado deseado.

Answer 2

Deje $C$ ser el punto de mayor latitud en el gran círculo de $AB$, y deje $N$ ser el polo norte. Entonces usted tiene un triángulo esférico $ACN$ con un ángulo recto en $C$ y el ángulo de $\ell$$N$, y la longitud del arco de $AN$ es $\frac\pi2 - \varphi.$ De la forma esférica de la ley de los senos puede obtener la longitud de arco de $AC$. Ahora tienes el arco de las longitudes de dos lados del triángulo y tienen los ángulos opuestos a cada uno de los dos lados; busca una fórmula que permite calcular la longitud de arco del tercer lado de la forma esférica de un triángulo (es decir, el lado de la $AC$) de lo que se da la información.

EDITADO Usted puede tratar de Napier de Analogías. (Se parece a un poco de manipulación adicional podría ser necesarios para llegar a la deseada fórmula.)

Tenga en cuenta que a medida que la longitud de $AC$ como parte del procedimiento anterior, y la distancia a lo largo de la línea de latitud es fácilmente conseguido de$\ell$$\varphi$, la segunda parte de la el problema debe venir con relativa facilidad.

EDITADO en Lugar de Napier, pruebe la cotangente fórmulas, en particular, $$\cos a \cos B = \cot c \sin a - \cot C \sin B$$ (pero tenga en cuenta que este es citar la fórmula del triángulo esférico $ABC$, mientras que usted está trabajando con $ANC$, así que en lugar de $B$ el ángulo en $N$, es decir,$\ell$; también, el $c$ en esta fórmula es $\frac\pi2 - \varphi$ en su notación, y $a$ $\frac\pi2$ menos la latitud de la $C$, lo que usted está tratando de encontrar).