¿Preservan las funciones diferenciables los conjuntos de medida cero? ¿Conjuntos medibles?

Question

Consideremos la medida de Lebesgue sobre $\mathbb{R}$ y que $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ sea diferenciable. ¿Tiene $f$ ¿preservan necesariamente los conjuntos de medida cero? ¿Acaso $f$ ¿preservan necesariamente los conjuntos medibles?

Tenga en cuenta que si $f$ es $C^1$ entonces $f$ preserva los conjuntos de medida cero ya que $C^1$ son localmente Lipschitz. Por lo tanto, $C^1$ también preservan los conjuntos medibles, ya que un conjunto medible es la unión de un $F_\sigma$ y un conjunto de medida cero, y las funciones continuas preservan $F_\sigma$ conjuntos. En general, si $f$ es absolutamente continua en cada intervalo, entonces $f$ preserva tanto los conjuntos de medida cero como los conjuntos medibles.

Sin embargo, no estoy seguro del caso diferenciable. Supongo que la respuesta a ambas preguntas es no. Me interesa un contraejemplo o una prueba en cada caso.

Answer 1

Si $f$ preserva los conjuntos nulos, también preserva la mensurabilidad de Lebesgue (pero no necesariamente la mensurabilidad de Borel), porque por regularidad, todo conjunto medible de Lebesgue $M$ puede escribirse como

$$ M = N \cup \bigcup K_n $$

con $K_n$ compacto y $N$ un conjunto nulo. Por continuidad, $f$ preserva los conjuntos compactos.

Ahora bien, un teorema de Rudin, Real and Complex Analysis (Lemma 7.25) muestra en particular que toda función diferenciable en todas partes mapea conjuntos nulos a conjuntos nulos, de modo que su afirmación es cierta.

Answer 2

La siguiente afirmación implica su resultado.

Reclamación: Que $E \subseteq \mathbb{R}$ sea arbitraria. Supongamos que $|f'(x)| \leq M$ para todos $x \in E$ . Entonces $\mu^{\star}(f[E]) \leq M\mu^{\star}(E)$ .

Prueba: Fijar $\epsilon > 0$ . Obtener un conjunto abierto $U \supseteq E$ con $\mu(U) < \mu^{\star}(E) + \epsilon$ . Para cada $x \in E$ , dejemos que $\delta_x > 0$ sea tal que $(x - \delta_x, x + \delta_x) \subseteq U$ y $|f(y) - f(x)| \leq (M + \epsilon)|y - x|$ por cada $y \in (x - \delta_x, x+ \delta_x)$ . Consideremos la familia de intervalos cerrados: $V = \{[f(x), f(y)], [f(y), f(x)] : x \in E, |y - x| < \delta_x\}$ - Esta es una cubierta Vitali de $f[E]$ lo que significa que cada punto de $f[E]$ está cubierto por intervalos arbitrariamente pequeños en $V$ . Usando el teorema de cobertura de Vitali, obtener una subfamilia contable $C$ de intervalos disjuntos por pares que cubren toda la zona, excepto una parte nula, de $f[E]$ . La unión (disjunta) de los intervalos en $C$ tiene como máximo la medida $(M + \epsilon) \mu(U)$ que es menor que $(M + \epsilon)(\mu^{\star}(E) + \epsilon)$ . Ahora, dejemos que $\epsilon$ ir a cero.