Como mis conocimientos en lógica formal son muy malos, permítanme definir algunos conceptos de manera informal:
Dejemos que $A$ sea un objeto de tipo $T$ (como, un conjunto, un espacio topológico, un grupo, un álgebra de mentiras, o todo lo que se pueda pensar). Decimos que $A$ es autosimilar si existe un subobjeto estricto $B$ de $A$ del mismo tipo $T$ (como, un subconjunto, un subespacio con topología subespacial, un subgrupo, un subálgebra de mentira, ...) que es $T$ -isomorfo a $A$ . Es decir, $A$ se incrusta en sí mismo estrictamente.
Ejemplos: cualquier conjunto infinito, $(\mathbb{Z},+,0)$ visto como un grupo, $]0,1[$ visto como un espacio topológico, $\ldots$
Llamar a ss-subobjeto de $A$ cualquier subobjeto estricto $B$ de $A$ isomorfo a $A$ .
Ahora, decimos que un objeto autosimilar $A$ es maternal si existe un ss-subobjeto maximal (para la inclusión) $B$ (con esto quiero decir que $B$ es maximal en el conjunto de subobjetos autosimilares de $A$ No me importa si $B$ no es máxima en el entramado de subobjetos no necesariamente autosimilares).
Ejemplos: cualquier conjunto infinito, $(\mathbb{Z},+,0)$ , $\mathbb{Q}$ visto como un espacio topológico o un conjunto de orden total.
No hay ejemplos: $]0,1[$ El cantor se ha puesto en marcha, $\ldots$
Por último, decimos que un objeto autosimilar $A$ es densamente autosimilar si para cualquier subobjeto ss $B$ y $C$ de $A$ con $B < C$ (inclusión), existe un ss-subobjeto $D$ con $B < D < C$ .
Ejemplo: $]0,1[$ como un espacio topológico.
Está claro que si $A$ es densamente autosimilar, entonces $A$ no es maternal (por contradicción).
En general, ¿alguien tiene un ejemplo de no maternal $A$ que no es densamente autosimilar?
Más concretamente, ¿podemos encontrar un ejemplo algebraico (es decir, no topológico) de estructura no materna $A$ ? ¿Igual que en el caso de la autosimilaridad densa?
