Calcular $P(X>40\; |\; X>10)$ donde $X$ tiene una distribución exponencial

Question

Por favor, ¿podría alguien informar si he interpretado este problema correctamente

Deje $X$ tiene una distribución exponencial con una media de $i = 20$

(1) Calcular $P(X>40 \;| \;X>10)$

Creo que la solución correcta es encontrar $P(X>40)$, debido al principio de inclusión / exclusión. Es que si vamos a definir el evento $A = P(X>40)$ y en el caso de $B = P(X>10)$. Además, definen $A \cap B$$P(X>10)$. A continuación, para calcular (1) encontramos el siguiente $P(X>40) \cup P(X>10) - P(X>10)$ que es

$$1- (1-e^{-\frac{30}{20}})=0.2231$$

EDITAR Debido a la "memorylessness" de la distribución de probabilidad

$$P(X>40 \mid X>10)= P(X>30) $$

Gracias de antemano

Answer 1

Sí, debido a la "memorylessness" de una distribución exponencial, si $s>0$, $t>0$, entonces $$P(X>s+t\mid X>s) = P(X>t) = e^{-\lambda t}.$$

Podemos encontrar que si nos limitamos a calcular la expresión, el resultado mostrará el "memorylessness":

$$ \begin{align} P(X>s+t\mid X>s) &= \frac{P\big(X>s+t\cap X>s\big)}{P(X>s)} = \frac{P(X>s+t)}{P(X>s)} \\ &= \frac{\int_{s+t}^{\infty}\lambda e^{-\lambda x}dx}{\int_{s}^{\infty}\lambda e^{-\lambda x}dx} = e^{-\lambda t} = P(X>t),\quad (s>0,t>0). \end{align} $$