$f^*f_*(\mathcal{F})$ es surfective si $\mathcal{F}$ genera ser secciones globales

Question

Supongamos $\mathcal{F}$ es una gavilla de módulo en $X$,$f:X\to Y$,supongamos $\mathcal{F}$ es generado por el mundial de secciones. Es $f^*f_*(\mathcal{F})\to \mathcal{F}$ es surjective ?

Para comprobar sobre los tallos, $f^*f_*(\mathcal{F})_x \cong f_*(\mathcal{F})_{f(x)} \to \mathcal{F}_x$, y se convirtió en sucio..

Y es allí contraejemplo o es esta condición necesario?

Answer 1

Vamos a llamar a $F \in \mathsf{Mod}(X)$ bueno si $f^* f_* F \to F$ es un epimorphism.

$1.$ Paso: $f^* G$ es bueno para cada $G \in \mathsf{Mod}(Y)$. De hecho, el mapa es una división epimorphism por el triángulo de las identidades de la contigüidad entre el$f_*$$f^*$.

$2.$ Paso: Si $F'$ es un cociente de $F$$F'$, $F$ es bueno. Esto se desprende de lo obvio conmutativo el diagrama.

$3.$ Paso: Si $F$ es generado por el mundial de secciones, a continuación, $F$ es bueno. Esto es debido a que $F$ es un cociente de una suma directa de copias de $\mathcal{O}_X = f^* \mathcal{O}_Y$, por lo que podremos aplicar los Pasos 1 y 2.

Answer 2

Para un contraejemplo si $\mathcal{F}$ no es generado por el mundial de secciones, tome $f: X \rightarrow Y=\{pt\}$ $\mathcal{F}$ un no-cero gavilla de $\mathcal{O}_X$-módulos, por lo que no tiene (no trivial) global secciones. A continuación, el natural mapa $$ f^*f_*\mathcal{F} \rightarrow \mathcal{F} $$ no surjective.

De hecho, vamos a $x \in X$ ser tal que $\mathcal{F}_x \neq 0$. Tenemos \begin{split} (f^*f_*\mathcal{F})_x \cong (f_*\mathcal{F})_{pt} \otimes_{\mathcal{O}_{Y,pt}} \mathcal{O}_{X,x} = 0 \end{split} desde $(f_*\mathcal{F})_{pt} \cong \mathcal{F}(X)$, y el segundo es cero, por supuesto. Por lo tanto $f^*f_*\mathcal{F} \rightarrow \mathcal{F}$ no puede ser surjective en $x$.