¿De cuántas maneras existen para expresar un número como el producto de grupos de tres de sus factores?

Question

En concreto, estoy pensando en un rectángulo con un determinado volumen ($28\,000$) que tiene lados de número entero de longitud. Por ejemplo, $20 \cdot 20 \cdot 70 = 28\,000$, pero eso es lo $10 \cdot 40 \cdot 70$$1 \cdot 1 \cdot 28\,000$. Estoy interesado en la búsqueda de cómo muchas posibles entero combinaciones de longitudes de los lados hay que producir este volumen.

Su primer factorización es $2^5 \cdot 5^3 \cdot 7$, así que creo que la respuesta puede tener algo que ver con permutaciones de esos.

El orden de los tres grupos no importa porque hay una distinción entre el ser de la altura, la anchura o la longitud.

Answer 1

Supongamos que $n=p_{1}^{k_1}\cdot p_{2}^{k_2}...p_{m}^{k_m}$. Entonces lo que debemos hacer es decidir es cómo dividir cada primer poder como la suma de $3$ enteros no negativos. La manera de hacer que las estrellas y las barras, y la fórmula se convierte en $\binom{k_{i}+2}{2}$. (Esto nos da el número de maneras de dividir el factor de $p_{i}^{k_{i}}$.) Todos juntos, esto nos da la $\prod_{i=1}^{m}\binom{k_{i}+2}{2}$ formas de escribir $n$ como producto de exactamente $3$ de sus factores.

Para ser más explícito en por qué esto funciona, pienso escribir su $3$ papeleras, $\ell, w, h$. $\ell$ contendrá $p_{i}^{x_{1}}$, $w$ contendrá $p_{i}^{x_2}$ $h$ contendrá $p_{i}^{x_{3}}$. En orden para $\ell w h=n$ necesitas ese $p_{i}^{x_1}p_{i}^{x_2}p_{i}^{x_3}=p_{i}^{k_{i}}$, por lo que debe ser ese $x_1+x_2+x_3=k_i$ y cada una de las $x_{1},x_{2},x_{3}\geq 0$. A continuación, haga esto para cada uno de los prime.

Answer 2

Mediante el formalismo de la siguiente MSE enlace y el Polya Enumeración Teorema se sigue que, para $n$ tener factorización $$n = \prod_{p|n} p^v$$ la aplicación de MASCOTAS tenemos casi por la inspección que el conde de factorizations en $k$ factores está dada por el término $$H(n, k) = \left[\prod_p X_p^v\right] Z(E_k)\left(\prod_p \frac{1}{1-X_p}\right)$$ donde el corchete indica el coeficiente de extracción de poder formal de la serie y $Z(E_k) = a_1^k$ es el ciclo de índice de la identidad de grupo que contiene la identidad de permutación. Esto se convierte en $$\left[\prod_p X_p^v\right] \left(\prod_p \frac{1}{1-X_p}\right)^k.$$ Haciendo el coeficiente de extracción obtenemos $$\prod_p {v+k-1\choose k-1}$$ como se observó en la primera respuesta.