Encontrar un subgrupo de un Grupo abeliano es isomorfo a Z

Question

La pregunta: Si G es un grupo abelian y f es una surjective homomorphism de G a Z con el núcleo K, probar que G tiene un subgrupo H tal que H es isomorfo a Z.

Por el primer teorema de isomorfismo sé que G/K es isomorfo a Z (como Z es la imagen de f). Así que supongo que sólo tengo que encontrar una H que es isomorfo a G/K, y yo soy bueno (gracias a la transitividad de isomorphisms).

Answer 1

Sugerencia: Sólo necesitará demostrar que $G$ contiene un elemento de orden infinito.

Solución:

Si $\phi:G \to \mathbb Z$ es un homomorfismo de sobreyectiva, tomar $g \in G$ tal que $\phi(g)=1$.