El problema está en la sección de fórmula Integral de Cauchy en "Análisis complejo" de Gamelin. $$ \oint_{|z-1|=3} \frac{dz}{z (z ^ 2-4) e ^ z} $$ tengo problemas con él porque -2 es realmente el límite.
Respuesta
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Debe ser tratado como valor principal, es decir
$$\begin{eqnarray} \operatorname{P.V.} \oint{|z-1|=3} \frac{\mathrm{d}z}{z (z^2-4) \mathrm{e}^z} &=& \frac{1}{2} \left( \oint{|z-1|=3^+} \frac{\mathrm{d}z}{z (z^2-4) \mathrm{e}^z} + \oint{|z-1|=3^-} \frac{\mathrm{d}z}{z (z^2-4) \mathrm{e}^z} \right) \ &=& 2 \pi i \left( \left. \frac{\mathrm{e}^{-z}}{z^2-4} \right|{z=0} + \left. \frac{\mathrm{e}^{-z}}{z(z+2)} \right|{z=2} + \frac{1}{2} \left. \frac{\mathrm{e}^{-z}}{z(z-2)} \right|{z=-2} \right) \ &=& 2 \pi i \left( -\frac{1}{4} + \frac{\mathrm{e}^{-2}}{8} + \frac{\mathrm{e}^{2}}{16} \right) \end{eqnarray} $$
Añadido: También se puede hacer usando Mathematica:
