Supongamos que un compacto de Lie del grupo G actúa sobre un compacto colector de Q en una no necesariamente de manera libre. ¿Hay algún método general para obtener información sobre el cociente Q/G (un estratificado espacio)? Por ejemplo, yo estaría interesado en la (co)homología de grupos. Para ser un poco más concreto estoy interesado en G=SU(2) que actúan diagonal de la conjugación en el espacio Q=G^N (N un entero positivo).
Respuestas
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Luther Baker
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El cómputo de la cohomology del cociente por una no-acción libre X/G es generalmente muy difícil. Como primer paso, se puede cambiar a un problema que es un poco más fácil, es decir, que de la computación de la cohomology de la homotopy cociente, X xG por ejemplo. Aquí por ejemplo es un contráctiles en el espacio con una acción libre de G. La idea aquí es que X x EG es G-equivariantly homotopy equivalente a X y ahora está libre. Cuando X es un punto, entonces la homotopy cociente es sólo EG/G = BG
El cohomology de X xG por ejemplo es lo que se conoce como la (Borel) equivariant cohomology de X, escrito $H_G^*(X)$. Este es ahora un buen cohomology de la teoría de la satisfacción adecuada axiomas. Una característica importante de esto es que se trata de un módulo sobre el ring $H_G^*(pt) = H^*(BG)$.
Si el grupo G es un toro, a continuación, hay algunos muy poderosas herramientas para calcular equivariant cohomology en términos de cosas como el conjunto de privativo de las órbitas. Un hermoso lugar para comenzar es el papel de Aityah y Bott,
El momento en el mapa y equivariant cohomology. Topología 23 (1984), no. 1, 1--28.
Uno de los teoremas encontrará explica en que hay es que la inclusión de la subespacio de no-libre órbitas S en X se convierte en un isomorfismo en equivariant cohomology una vez que usted localizar (en el anillo de la teoría de sentido), invirtiendo la equivariant Euler clases de la normal de paquetes de los componentes de S. Afortunadamente, el mapa de equivariant cohomology a la localizada equivariant cohomology generalmente es inyectiva hacerlo, este no pierde ninguna información.
Por último, hay un mapa de X xG por ejemplo para X/G dada por el colapso por ejemplo a un punto. Este mapa da lugar a una secuencia espectral que permite calcular el cohomology de el cociente de la equivariant cohomology adicional y datos geométricos sobre la acción y de sus puntos fijos y los estabilizadores.
Thomas Freudenberg
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Joseph Sturtevant
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En general, esta es una pregunta difícil. Aquí hay un par de hechos relacionados entre sí, que yo sepa. Considere la posibilidad de un discreto grupo G que actúa sobre un espacio X, que vamos a suponer que es un complejo simplicial (y que la acción es simplicial). Además, para simplificar las cosas, supongamos que el estabilizador de un simplex se estabilice que simplex pointwise (esto puede ser arreglado por subdividir).
1) Si X es simplemente conectado, entonces X/G es simplemente conexa si y sólo si G es generado por los elementos que estabilizan los vértices. Más en general, vamos a H el subgrupo de G generado por el vértice estabilizadores (observe que esto es normal!). Entonces existe una secuencia exacta
1 --> H --> G --> pi_1(X/G) --> 1
Este es un teorema de M. A. Armstrong; ver su papel
MR0187244 (32 #4697) Armstrong, M. A. En el grupo fundamental de una órbita en el espacio. Proc. Cambridge Muerte. Soc. 61 1965 639 646--.
Una relacionada con el teorema puede encontrarse en mi artículo "la Obtención de las presentaciones del grupo de acciones sin la toma de decisiones".
2) en la Medida de homología va, hay toda una teoría de la equivariant homología aquí. Un buen lugar para leer sobre ella es de color Marrón del libro "Cohomology de Grupos", Capítulo VII, y una más amplia introducción es tom Dieck del libro "la Transformación de los Grupos"
Como verás si lees las fuentes mencionadas, la respuesta se reduce a "Es complicado!". En concreto la configuración, usted es probablemente mejor tratando de conseguir una buena topológico/geométrica comprensión de la órbita en el espacio con sus "propias manos".
Marcel Lamothe
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Su ejemplo ($G^N/G, G=SU(2)$) es el espacio de las clases conjugacy de $SU(2)$ representaciones del grupo libre de rango $N$. Me parece recordar que hay algunos artículos, hay que calcular su cohomology para valores pequeños de a $N$, de modo que usted puede buscar para los que (por supuesto, cuando se $N=1$, se obtiene un 1-simplex).
Por ejemplo. "La topología de los espacios de moduli de libre grupo de representaciones" http://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=2529483
Pero creo que me acuerdo de algunas explícita resultados para $G=SU(2), N=2,3$ en algún lugar. Desde el grupo libre es un pinchazo en un superficie de grupo, se puede echar un vistazo a los artículos sobre el espacio de moduli de tv de conexiones en las superficies, y tal vez el Narasimhan-Sheshadri-tipo de resultados que se relacionan $U(n)$ $SU(n)$ plana módulos de espacios de moduli de holomorphic haces sobre las superficies de Riemann. No sé si los pinchazos pueden ser tratados en ese contexto.
Usted puede buscar también en Akbulut-McCarthy libro, y estoy seguro de que Andy P. y Jeffrey G. puede dirigir a otros artículos en este sentido.
