¿Es el número Pi en orden inverso un número real?

Question

Pi es un número real. Podemos enumerar cualquier dígito del número Pi.

Pi tiene un número infinito de dígitos y su enumeración en base 10 comienza de la siguiente manera:

Pi=3.14159265…

¿Qué pasa si creamos un nuevo número n a partir de los dígitos de Pi en orden inverso? ¿Y si colocamos cada dígito de Pi de la parte decimal en la parte natural y de la parte natural en la parte decimal? La transformación inversa funciona como un espejo, los dígitos más cercanos al punto decimal se mapearán a la misma distancia en la parte natural y viceversa.

El nuevo número n se verá así:

...56295141.3 = n

El n tendrá un número infinito de dígitos. Podemos enumerar cualquier dígito de este nuevo número, pero no tiene un primer dígito, similar a como Pi no tiene un último dígito.

¿Por qué se permite la creación de números de profundidad infinita cuando nos dirigimos a regiones más pequeñas como Pi, pero no se permite crear números de tamaño infinito como n, donde nos dirigimos a regiones más grandes?

El número n se puede escribir como una suma infinita. ¿Cómo podemos ir más allá de los números reales, si sabemos que la propiedad básica de los números reales es que si a, b son números reales, entonces a+b también es un número real? Podemos escribir n como 0.3+1+4*10+1*100+5*1000... En cada punto estamos sumando un número real a otro número real y no hay ningún punto en el que podamos salirnos de los números reales. Incluso podemos dividir esta suma en sub sumas más pequeñas y cada una de esas partes más pequeñas también debería estar dentro de los números reales.

Si n es un número real, entonces n sin la parte decimal puede ser un número natural. Si pudiéramos crear un número natural de tamaño infinito, entonces podríamos demostrar que la prueba diagonal de Cantor fallaría, porque en ese caso podríamos crear un número natural de tamaño infinito. Si los números naturales pueden tener un tamaño infinito, entonces podemos crear con la misma manipulación diagonal números naturales de tamaño infinito como lo hizo Cantor con los números reales de profundidad infinita.

¿Está el n dentro del conjunto de números reales?

Answer 1

Lo que tienes no tiene sentido como un número real. Sin embargo, dentro de los números $10$-ádicos sí tiene sentido. Realmente no hay propiedades extravagantes que se puedan deducir sobre este número, pero ciertamente existe.

Para cualquier natural $n\geq2$, los números $n$-ádicos son como los números reales usuales en base $n$, excepto que permitimos infinitos dígitos a la izquierda y solo finitos dígitos a la derecha. Los números se suman y multiplican de forma "usual".

También debo agregar que los números $10$-ádicos no son muy comunes en uso, por la simple razón de que $10$ no es un número primo. Ese hecho les otorga a los números $10$-ádicos algunas propiedades que preferimos evitar (específicamente, la división no funciona).

Answer 2

Cualquier número real tiene, según la Propiedad Arquimediana, solo un número finito de dígitos antes del punto. Por lo tanto, no, este no puede ser un número real.

Answer 3

Sea $(a_n)_{n \ge 0}$ la sucesión de dígitos de $\pi$: $a_0 = 3$, $a_1 = 1$, $a_2 = 4$, $a_3 = 1$, etc tal que $$\pi = \sum_{k = 0}^\infty a_k 10^{-k}.$$

Ahora define la sucesión $$r_n = \frac{1}{10} \sum_{k=0}^n a_k 10^k,$$ cuyos primeros elementos son $r_0 = 0.3$, $r_1 = 1.3$, $r_2 = 41.3$, etc.

Tu pregunta es si $$\lim_{n \to \infty} r_n$$ existe.

La respuesta es no, ya que esta es claramente una sucesión divergente. Para la prueba, supongamos que afirmas que $L$ es el límite, y es un número real con $n$ dígitos antes del punto decimal (es decir, sea $n = \lceil \log_{10} L \rceil$). Entonces afirmo que $r_{n+2} > L$.