Dejemos que $G = SL_{2}(\mathbb{R})$ y $\Gamma = \Gamma_{0}(N)$ . Cada elemento $g =\begin{pmatrix}a & b\\ c& d\end{pmatrix}\in G$ puede escribirse como $$\begin{pmatrix} y^{1/2} & xy^{-1/2} \\ 0 & y^{-1/2}\end{pmatrix}\begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}$$ para algunos $x, y, \theta$ . Por lo tanto, podemos asociar cada $g \in G$ con $(x, y, \theta)$ con $x \in \mathbb{R}$ , $y > 0$ y $\theta \in [0, 2\pi]$ . Con $g$ como se ha definido anteriormente, $z = x + iy = g(i)$ y $\theta = \arg(ci + d)$ . Para cada $f \in S_{k}(\Gamma)$ , defina $\phi_{f}(g)$ en $G$ por $\phi_{f}(g) = f(g(i))j(g, i)^{-k}$ donde $j(g, i) = (ci + d)(\det g)^{-1/2}$ . Consideramos la medida de Haar en $\Gamma$ y $\Gamma\backslash G$ .
Mi pregunta es: ¿Por qué podemos normalizar la medida de Haar en $G$ mediante la fórmula $$\int_{G}\phi_{f}(g)\, dg = \frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty} \phi_{f}(x, y, \theta)\, \frac{dxdy}{y^{2}}\, d\theta,$$ ¿cuál es el razonamiento de esta fórmula? Además, ¿por qué implica que $$\int_{\Gamma\backslash G} |\phi_{f}(g)|^{2}\, dg = \iint_{F} |f(z)|^{2} y^{k}\frac{dxdy}{y^{2}}$$ donde $F$ es el dominio fundamental para $\Gamma$ en el medio plano superior.
