esfera de la unidad de superficie

Question

Supongamos $\sum_i c_i = 0$ $Z$ es el sorteo de la colección de la unidad de vectores, es decir, norma Euclídea $\lVert Z \rVert = 1$. De curso $E\left[\sum_i c_iZ_i^2 \right]=0$. ¿Qué podemos decir acerca de $P\left(\sum_i c_i Z_i^2 > 0\right)$? No creo que esta probabilidad es siempre la mitad. ¿Alguien puede ayudar a encontrar la probabilidad?

$\it{Example}:$ Considera $c_1 = 1$, $c_2 = 1$ y $c_3 = -2$. Entonces, estamos interesados en $P\left(Z_1^2 + Z_2^2 - 2 Z_3^2 > 0\right)$. No es difícil ver que $\left\{z:z_1^2 + z_2^2 - 2 z_3^2 = 0, z_1^2 + z_2^2 + z_3^2 =1\right\} = \left\{z: z_1^2 + z_2^2 = \frac{2}{3}, z_3 =±\frac{1}{3}\sqrt{3}\right\}$

tal que el conjunto de $\left\{z_1^2 + z_2^2 - 2 z_3^2 = 0, \lVert z\rVert=1\right\}$ se compone de dos círculos con centros de $(0,0,±\frac{1}{3}\sqrt{3})$, radio $\sqrt{\frac{2}{3}}$, y el vector normal que apunta en la $z_3$ dirección. Para este ejemplo, la pregunta es, entonces, para encontrar la superficie de la unidad de la esfera encerrado dentro de los dos círculos, es decir,$P\left(Z_1^2 + Z_2^2 - 2 Z_3^2 > 0\right)=P\left(-\frac{1}{3}\sqrt{3}< Z_3<\frac{1}{3}\sqrt{3}\right)$.

Answer 1

El caso general sólo requiere una ligera modificación, como su ejemplo contiene todos los ingrediente clave para el cálculo. De hecho, vamos a $c=-\min\{c_1,c_2,c_3\}$ y considerar los siguientes equivalente a la desigualdad:

$$(c+c_1)Z_1^2 + (c+c_2)Z_2^2 + (c+c_3)Z_3^2 > c.$$

Suponiendo sin pérdida de generalidad que $c_1 > c_2 > c_3$, $c=-c_3$ y la desigualdad por encima de los rendimientos de la región

$$(c_1-c_3)Z_1^2 + (c_2-c_3)Z_2^2 > c,$$

El exterior de un cilindro elíptico. Por lo tanto el problema se reduce a hallar el área de la correspondiente región de la superficie de la esfera. Por supuesto es posible extremadamente difícil (o imposible) encontrar una forma cerrada para la superficie de la integral, el problema es simple cuando se $c_1 = c_2$.

Honestamente, no he probado la evaluación de la integral para el caso general, sin embargo como ya es medianoche aquí y tengo que ir a la cama. Cuando estoy despierto, voy a probarlo de nuevo y completar esta respuesta si hay algo nuevo.

Answer 2

Sólo algunos salvajes pensamientos: Como $\sum_i c_i Z_i^2>0 \Leftrightarrow \sum_i c_i (rZ_i)^2>0$ cualquier $r>0$, el problema es equivalente a la evaluación de las $P\left(Q:=\sum_i c_i X_i^2>0\right)$, donde el $X_i$s se yo.yo.d. Normal estándar. Así que puede ser reducido aún más a $P\left(\sum_{c_j>0} c_j X_j^2>\sum_{c_k<0} c_k X_k^2\right)$. En otras palabras, se están comparando dos suma ponderada de chi-cuadrado de las distribuciones. Hay un par de artículos sobre computación numérica de la CDF de la suma ponderada de chi-cuadrado distribuciones (este papel, en particular, parece explicar la CDF de la anteriormente mencionada $Q$ directamente). Espero que puedan ayudar.