¿Elegante prueba que $\left|(1-x)(2-x)(3-x)\cdots(n-x)\right| < n!$ % todo $0<x<n+1$?

Question

Estoy en busca de un buen argumento que muestra que $$\left|\,(1-x)(2-x)(3-x)\cdots(n-x)\,\right| < n!$$ para todos los $0 < x < n+1$.

He probado ya (de casos en función de la parte entera de la $x$), pero estoy satisfecho con mi prueba.

Mi prueba, por la petición: Si $x \in \mathbb{Z}$ , a continuación, el lado izquierdo es igual a cero. Por lo tanto, vamos a $k < x < k+1$ con $0 \leq k \leq n$ e $k \in \mathbb{Z}$. Entonces $$\begin{align} &|(1-x)(2-x)(3-x)\cdots(n-x)| \\ &< |1-(k+1)| |2-(k+1)| \cdots |k-(k+1)|\,|(k+1)-k||(k+2)-k| \cdots |n-k| \\ &= |k||k-1| \cdots |1| \, |1| |2| \cdots |n-k| \\ &= |1| |2| \cdots |n-k| \, |1| \cdots |k-1| |k| \\ &\leq |1| |2| \cdots |n-k| |n-k+1| \cdots |n| \\ &= n! \end{align}$$

Sospecho que hay una mucho mejor manera de abordar el problema, pero me parece que no puede encontrar uno. Cualquier ayuda se agradece mucho!

Answer 1

Supongamos que

$$ \mid (1-x) (2-x) \cdots (n-x) \mid < n! $$

para todos los $0 < x< n+1$.

Si $0< x < n+1$, luego

$$ \mid (1-x) (2-x) \cdots (n-x) (n+1-x) \mid < n! \mediados de n+1-x \a mediados de < (n+1)! $$

Si $n+1<x<n+2$, luego deje $y=x-1$ lo $n<y<n+1$

$$ \mid (1-x) (2-x) \cdots (n-x) (n+1-x) \mid = \mid (-y) (1-y) (2-y) \cdots (n-y) \mid \\ = \mid y \mid \mid (1-y) (2-y) \cdots (n-y) \mid\\ < \mid y \a mediados de n!\\ < (n+1)! $$

Esa fue la inducción de paso, vamos a ir de nuevo a la base de casos.

$$ 0 < x < 0+1\\ 0 < 1-x < 1\\ \mid (1-x) \mid = (1-x) < 1!=1 $$

Answer 2

Puede utilizar la inducción de aquí, debido a la simetría de la expresión.

Supongamos que $$\left|(1-x)(2-x)(3-x)\cdots(n-1-x)\right| < (n-1)!$$ for $0 < x < $n.

Entonces si $0 < x < n$, tenemos $|n-x|< n$, lo $$|(1-x)(2-x)(3-x)\cdots(n-x)| < n!$$ por la hipótesis inductiva.

Y si $n\le x<n+1$, puesto $y=n+1-x$; ahora $0<y\le 1$, por lo que podemos utilizar la hipótesis inductiva en $y$, para obtener el $$|(1-y)(2-y)(3-y)\cdots(n-y)| < n!$$ Pero $|(1-y)(2-y)(3-y)\cdots(n-y)|$ es sólo $|(1-x)(2-x)(3-x)\cdots(n-x)|$, con los términos invertidos, por lo que estamos por hacer.

Answer 3

Lo que usted tiene es un agradable, la prueba directa. Sólo quiero deshacerme de el en valores absolutos, de modo que se hace más evidente de cómo cada uno de plazo se estima.

Así, por $x \in (k, k+1)$ con un número entero $k$, $0 \le k \le n$, tenemos $$ |(1-x)(2-x)(3-x)\cdots(n-x)| \\ = (x-1)(x-2)\cdots(x-k) \, \times \, (k+1-x)(k+2-x) \cdots (n-x) \\ < (k)(k-1)\cdots (1) \, \times \, (1)(2) \cdots(n-k) \, . $$ En la segunda parte de los productos que pueden aumentar cada factor por $k$, de modo que la expresión es $$ \le (k)(k-1)\cdots (1) \, \times \, (k+1)(k+2) \cdots(n) = n! \, . $$

Alternativamente, el uso que $$ (k)(k-1)\cdots (1) \, \times \, (1)(2) \cdots(n-k) = k!(n-k)! = \frac{n!}{\binom nk} \le n! \, . $$