Teoría de la intersección de una superficie

Question

Tengo algunos problemas para demostrar el ejercicio 20.2.Parte (b) en Ravi Vakil de la "Fondation de la Geometría Algebraica". Aquí el extracto:

La configuración es: Tenemos una superficie de $X$ (por lo tanto de 2 dimensiones, adecuado $k$-scheme) y dos efectivos divisores $C,D$ (por lo tanto las curvas) de forma tal que $C$ e $D$ no han común irreductible componentes.

Para mostrar:

$$(D \cdot C) = h^0(D \cap C, \mathcal{O}_{C \cap D})$$

Mis esfuerzos: Puesto que, por definición y el ejercicio 20.2.Un (a) ya sabemos que $(D \cdot C) = deg(\mathcal{O}_X(D) \vert _C) = \chi(\mathcal{O}_X(D) \vert _C) - \chi(\mathcal{O}_C)$

aquí $\chi$ es la característica de Euler y $\mathcal{O}_X(D)$ el corresponing invertible gavilla de divisor $D$.

El ideal es mostrar que la secuencia siguiente es exacta:

(*)$$0 \to \mathcal{O}_C(-D) \to \mathcal{O}_C \to \mathcal{O}_{D \cap C} \to 0$$

y, a continuación, utilizando la aditividad de Euler charecteristic y el hecho de que $\chi(\mathcal{O}_{C \cap D})= h^0(D \cap C, \mathcal{O}_{C \cap D})$ desde esta intersección es cero dimensional.

Desde esta secuencia de aristas de la secuencia de $0 \to \mathcal{O}_X(-D) \to \mathcal{O}_X \to \mathcal{O}_D \to 0$ por tensoring con $\mathcal{O}_C$ el único cruical punto es demostrar que $\mathcal{O}_C(-D) \to \mathcal{O}_C$ es inyectiva. Por definición, esto se puede hacer en el nivel de los tallos.

Por definición, los tallos están dadas por $\mathcal{O}_{C,c} = \mathcal{O}_{X,c}/(g)$ e $\mathcal{O}(-D)_{X,c} = f\mathcal{O}_{X,c}$ regular $f, g \in \mathcal{O}_{X,c}$ desde $C,D$ eficaz divisores.

Por lo tanto, tenemos $\mathcal{O}_C(-D)_c = \mathcal{O}(-D)_{X,c} \otimes \mathcal{O}_{C,c}= f\mathcal{O}_{X,c} \otimes \mathcal{O}_{X,c}/(g) = f\mathcal{O}_{X,c}/(fg)$

Así que tengo que demostrar que $$f\mathcal{O}_{X,c}/(fg) \to \mathcal{O}_{X,c}/(g)$$ is injective for every $c \in C$.

Desde $C$ es una curva de dos casos que podrían ocurrir:

1. $c$ es genérica punto (de $C$)
2. $c$ es un cerrado

Podría alguien ayudar a demostrar el deseado de inyectividad para estos dos casos? No veo donde puedo utilizar la suposición de que $C$ e $D$ no han común irreductible componentes. Además de cómo lidiar con los tallos donde $c$ es un integrado de componentes, por lo $c \in Ass(\mathcal{O}_c)$?

Answer 1

Queremos mostrar que si $C,D$ son dos curvas en una superficie $X$ tal que $C$ no contiene ningún asociado punto de $D$, a continuación, $\mathcal{O}_C(-D) \rightarrow \mathcal{O}_C$ es inyectiva.

Como usted sugiere, es suficiente para comprobar esto en los tallos.

Deje $A=\mathcal{O}_{X,c}$, y deje $f,g \in A$ ser local ecuaciones para $C,D$ respectivamente. Entonces, queremos mostrar que el mapa de $A/(f) \rightarrow A/(f)$ dado por la multiplicación por $g$ es inyectiva. Esto es suficiente para mostrar que $g\in A/(f)$ no es un cero-divisor.

Supongamos lo contrario, entonces existe $0\ne a\in A/(f)$ tal que $ag \in (f)$, es decir, $ag = bf$ en $A$ para algunos $b\in A$. Vamos a utilizar el hecho de que $A$ es un UFD (como es normal). Si $g$ e $f$ no comparten factores comunes, entonces $a=0 \in A/(f)$. Por lo tanto, podemos suponer que la $g$ e $f$ comparte algunas común factor $h\in A$.

Ahora vamos a levantar este resultado a un conjunto abierto en $X$.

Por una adecuada localización (es decir, tomar un afín abierto que contiene a$c$, y luego invertir todo lo que se muestra en los denominadores en la de arriba), podemos suponer que la $X$ a nivel local es dado por $\operatorname{Spec} A'$, $f,g,h \in A'$ y que $g = g'h, f=f'h$ en $A'$ para algunos $f,f'\in A'$. Pero esto implica que $V(h) \subseteq V(g) \cap V(f)$ en $\operatorname{Spec} A'$. Desde $A'$ es una parte integral de dominio, $V(h)$ tiene dimensión uno. Por lo que esto implica que $V(g)$ e $V(f)$ compartir una componente irreducible en $\operatorname{Spec} A'$, lo que implica que comparten una componente irreducible en $X$. Esto le da una contradicción.

Nota que en realidad sólo se utiliza el hecho de que $C,D$ no comparten irreductible componentes y nada sobre incrustado puntos - pero como Vakil menciona a la derecha después de este ejercicio - en el hecho de $D$ nunca vas a tener incrustado puntos desde $X$ es suave.

Answer 2

Yo creo que se quiere asumir que $S$ es regular, por lo que $(\mathcal{O}_{X,c})$ es factorial. Así que tenemos un factorial anillo de $R$, y los elementos de $f$, $g$ que cortan $C$, $D$. Desde $C$, $D$ no tienen componentes comunes, se $f$, $g$ son coprime ($\text{gcd}(f,g) = 1$). Ahora, queremos mostrar que$$f: (gR)/f(gR) = \mathcal{O}_{C,c}(-D) \to \mathcal{O}_{C,c} = R/f\text{ is injective.}$$

Para ver esto, tome $g a \in g R$, $g a = 0$ mod $f$. Por lo $g a = f b$. Por lo $f \mid (g a)$. Desde $f$, $g$ son coprime, tenemos $f \mid a$. Por lo tanto $a = c f$, e $g a = g f c$, lo $g a \in f g R$.

La mejor referencia para yo sé que esto es de Beauville del libro Complejo Superficies Algebraicas, Capítulo 1.

Actualización: Vamos a probar una segunda explicación. Respecto a su pregunta, usted probablemente está casi allí. El problema es que la fórmula que se debe mantener siempre $C$ e $D$ "se cruzan correctamente". Si decir, $X$ es regular, $C$ e $D$ son reducidos, esto significa exactamente que $C$ e $D$ no tienen en común irreductible componentes. En general, necesitamos $C$ e $D$ a ser divisores de Cartier en $X$, y que $C \cap D$ sigue siendo un divisor de Cartier en decir, $D$. La última condición significa que no se le asocia el punto de $C$ está contenido en $D$, o lo que es equivalente, que localmente $f$ es un divisor distinto de cero en $\mathcal{O}_{X,c}/(g)$. Así que la multiplicación con $f$ es un inyectiva de morfismos en $\mathcal{O}_{X,c}/(g)$, que se parece a lo que necesitamos.