Suma de reciprocals de números triangulares y cálculo

Question

He estado buscando un interesante cálculo de los problemas de la tarea hace poco y que surgió a través de las siguientes acciones:

Partición de la unidad de la plaza de $[0,1] \times [0,1]$ en regiones en las curvas de $y=x^n$ para $n \in \{0,1,2,\ldots\}$. Entonces, el área entre dos curvas consecutivas es $$\int_0^1 x^{n-1}-x^n \, dx =\frac{1}{n(n+1)}.$$

Desde el área de la unidad de cuadrado es $1$, tenemos este bonito suma: $$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n(n+1)}=1$$

Aquí es donde la tarea problema extremos, pero ahora note que: $$\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{2 {n+1 \choose 2}}$$

Por lo tanto: $$ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{{n+1 \choose 2}}=2.$$

Para decirlo más correctamente: $$ \sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{{n \choose 2}}=2.$$

Aquí es lo que me pregunto: La serie dada en la última línea parece muy combinatoria. ¿Alguien sabe de cualquier combinatoria interpretación de la serie o de sus sumas parciales?

También estoy preguntando si es posible obtener cualquier otra serie infinita que implican recíprocos de los coeficientes binomiales mediante el uso de técnicas similares.

Answer 1

Esto no es combinatoria pero algebraica. Sin embargo, las generalizaciones son más fáciles y anima.

<span class="math-container">$\begin{array}\ \sum{n=a}^{b}\dfrac{1}{{n \choose 2}} &=\sum{n=a}^{b}\dfrac{1}{n(n-1)/2}\ &=2\sum{n=a}^{b}\dfrac{1}{n(n-1)}\ &=2\sum{n=a}^{b}\left(\dfrac1{n-1}-\dfrac1{n}\right)\ &=2\left(\dfrac1{a-1}-\dfrac1{b}\right)\ \end{matriz} $</span>

Su caso es <span class="math-container">$a=2, b=\infty$</span>.

Esto se puede generalizar a <span class="math-container">${n \choose m}$</span> en el denominador.