$f(A\cap B) = f(A)\cap f(B)$ si $f$ es surjetivo

Question

Si $f$ es inyectiva, entonces la afirmación $f(A\cap B) = f(A)\cap f(B)$ se mantiene, pero ¿qué pasa si $f$ es sobreyectiva (y no inyectiva)? ¿También es cierta la afirmación?

Creo que no es cierto, pero no estoy seguro de que mi contraejemplo funcione: Supongamos que $f: X\rightarrow Y$ , donde $X=[-2,2]$ y $Y=[0,4]$ y $f(x) = x^2$ . Entonces $f$ es suryente. Ahora definamos $A=[-2,0]$ y $B=[0,2]$ entonces $f(A\cap B) = f(0) = 0$ mientras que $f(A)\cap f(B) = [0,4]$ .

¿Es esto correcto o es $f$ no es suryectiva para la definida $A$ y $B$ ?

Answer 1

Tu contraejemplo funciona.

También se puede considerar la función constante $ f :\{ 1,2 \} \to \{3\}$ con $A=\{1 \}$ y $B=\{2\}$ .

Answer 2

Cuando f no es inyectiva no podemos decir que la afirmación es verdadera aunque f sea suryectiva como ves en tu ejemplo.

La verdad es que $f(A\cap B)\subset f(A)\cap f(B)$ . Permítanme probar: $y\in f(A\cap B)\iff \exists x\in A\cap B: y=f(x)\Rightarrow $ Desde $x\in A$ y $ x\in B$ entonces $y=f(x)\in f(A)$ y $y=f(x)\in f( B) $$ \Flecha derecha y=f(x)\Nen f( A)\Ny cap f(B)$

Pero no podemos probar esto $(f(A)\cap f(B)) \subset f(A\cap B)$ . Esta es la razón: Tome $y\in f(A)\cap f(B)$ (pretendemos decir $y\in f(A\cap B)$ ). Entonces hay $a\in A$ y $b\in B$ tal que $f(a)=f(b)=y$ . Ahora para seguir la prueba tenemos que decir $a=b$ pero no podemos. Este es el punto por el que necesitamos la inyectividad.