Esta es sólo una respuesta parcial y, en particular, conduce a nuevas condiciones necesarias para la existencia de una raíz cuadrada con el entero de las entradas.
Se ha observado que si $S$ es una raíz cuadrada de $M$, a continuación, $\det M = \det (S^2) = (\det S^2)$, y tan si $S$ ha entero entradas, $\det M$ debe ser un cuadrado perfecto. Podemos generalizar esta observación para producir un Diophantine sistema. Si $S$ ha entero entradas, igual que lo hacen los coeficientes del polinomio característico $p_S(t)$ de $S$:
$$p_S(t) = t^3 - \operatorname{tr}(S) t^2 + \sigma_2(S) t - \det t .$$
Aquí, $\sigma_2(S)$ es el segundo polinomio simétrico $\lambda_2 \lambda_3 + \lambda_3 \lambda_1 + \lambda_1 \lambda_2$ en los autovalores $\lambda_k$ de $S$. En términos de las entradas $s_{ij}$ de $S$,
$$\sigma_2(S) = (s_{22} s_{33} - s_{23} s_{32}) + (s_{33} s_{11} - s_{31} s_{13}) + (s_{11} s_{22} - s_{12} s_{21}) .$$
Así, como se hizo para $\det M$ podemos derivar nuevas condiciones en el invariantes $\operatorname{tr} M$, $\sigma_2(M)$ de $M$ por expresar en términos de la anterior invariantes de $S$. Los autovalores de a$M$ se $\lambda_k^2$, de modo que, por ejemplo,
$$\operatorname{tr} M = \lambda_1^2 + \lambda_2^2 + \lambda_3^2 = (\lambda_1 + \lambda_2 + \lambda_3)^2 - 2 (\lambda_2 \lambda_3 + \lambda_3 \lambda_1 + \lambda_1 \lambda_2) = (\operatorname{tr} S)^2 - 2 \sigma_2(S) ,$$
y de manera similar obtenemos
$$\sigma_2(M) = \sigma_2(S)^2 - 2 \operatorname{tr}(S) \det(S) .$$
Poniendo todo esto, una condición necesaria para la existencia de una raíz cuadrada de $M$ con el entero de las matrices es la existencia de un número entero no negativo solución de $(\delta, \sigma, \tau)$ de los sistema de
\begin{align*}
\det M &= \delta^2 \\
\sigma_2(M) &= \sigma^2 - 2 \tau \delta \\
\operatorname{tr}(M) &= \tau^2 - 2 \sigma
\end{align*}
Podemos ver de inmediato que en cualquier solución de $\delta, \sigma, \tau$ debe tener la misma paridad como $\det M, \sigma_2(M), \operatorname{tr}(M)$, respectivamente.
Si $\det M$ es un cuadrado, sabemos $\delta$ y podemos considerar el sistema como un par de ecuaciones de segundo grado en $\sigma, \tau$, y la eliminación de $\sigma$ da $\tau$ satisface $$\tau^4 - 2 \operatorname{tr}(M) \tau^2 - 8 \delta \tau + [(\operatorname{tr}(M))^2 - 4 \sigma_2(M)] = 0,$$ y reorganización de la última ecuación en el sistema anterior da
$$\sigma = \tfrac{1}{2}[\tau^2 - \operatorname{tr}(M)].$$
Ya que en cualquier solución de $\tau$ debe ser un número entero y racional alguno raíz de un monic polinomio entero es un número entero, Racional Raíz Teorema nos da una finito algoritmo para reducir el espacio de posibles soluciones:
Para cada nonegative factor de $\tau$ del término constante $(\operatorname{tr}(M))^2 - 4 \sigma_2(M)$ de la misma paridad como $\operatorname{tr}(M)$, verificar si es una raíz de la anterior polinomio de cuarto grado. Si no hay ninguno raíces, $M$ no tiene un número entero de la raíz cuadrada. En el caso de que el término constante es cero, o bien la traza es cero, lo que (ya que son no negativos) de las fuerzas de los tres autovalores son iguales a cero, o no lo es, y que en lugar de mirar a los factores positivos de la siguiente a la de menor plazo, $8 \delta$.
Esta prueba es más sensible que el uso del determinante por sí solo. Por ejemplo, la diagonal de la matriz $D := \operatorname{diag(2, 2, 1)}$ ha determinante $4$, que es cuadrada, sino $(\operatorname{tr}(D))^2 - 4 \sigma_2(D) = -7,$ y su entero positivo factores, $1, 7$, no son las raíces de la cuártica en $\tau$, lo $D$ no tiene raíz cuadrada con el entero de las entradas.
