Encontrar el derivado número 100 de$\frac{1}{1+x^2}$ sin usar números complejos

Question

Estoy tratando de calcular el número 100 de derivados de $$f(x) = \dfrac{1}{1+x^2}$$ en $x=0$.

Hasta ahora, he tenido sólo encontró una manera de hacerlo, y que es la reescritura como $$f(x) = \dfrac{1}{2i} \bigg(\dfrac{1}{x-i} + \dfrac{1}{x+i}\bigg)$$ y el uso de más derivado de la fórmula para cada término en el paréntesis. Sin embargo, mi profesora no se permite el uso de números complejos en el cálculo de los derivados, como solo se define la derivada en el conjunto de los números reales (con la definición de límite), a pesar de que sabía que el número final siempre sería un número real.

Empecé a $x=\tan(t)$, pero también no funcione, porque no sé si hay una regla de la cadena para las derivadas de orden mayor.

Hay alguna forma de solucionar este problema sin el uso de números complejos?

Answer 1

Tenga en cuenta que desde $\sum x^n = \frac{1}{1-x} $ , entonces

ps

Por lo tanto, $$ \frac{1}{1+x^2} = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n x^{2n} $

Answer 2

Directo de la computación es posible. El uso de la regla de Leibniz para los productos,

$$(1+x^2)f(x)=1$$

$$2xf(x)+(1+x^2)f'(x)=0$$

$$2f(x)+2\,2xf'(x)+(1+x^2)f''(x)=0$$

$$3\,2f'(x)+3\,2xf''(x)+(1+x^2)f'''(x)=0$$

$$6\,2f''(x)+4\,2xf'''(x)+(1+x^2)f''''(x)=0$$

$$10\,2f'''(x)+5\,2xf''''(x)+(1+x^2)f'''''(x)=0$$

$$\cdots$$

Entonces

$$f(0)=1$$

$$f'(0)=0$$

$$f(0)+f''(0)=0$$

$$2f'(0)+f'''(0)=0$$

$$6\,2f''(0)+f''''(0)=0$$

$$10\,2f'''(0)+f'''''(0)=0$$

$$\cdots$$

A partir de esto, cada derivada es cero y

$$(2k+1)(2k-1)f^{(2k-1)}(0)+f^{(2k+1)}(0)=0.$$

Esta recurrencia es fácil de resolver.