¿Es todo entero par suficientemente grande la suma de dos cuasiprimas?

Question

Llamamos "cuasiprimo" a cualquier número entero de la forma $ p^{k} $ con $ k\geq 1 $ y $ p $ un número primo. En otras palabras, el conjunto de cuasiprimas es exactamente el conjunto de números enteros para los que la teoría de von Mangoldt $ \Lambda $ no desaparece.

¿Se puede demostrar que todo número entero par suficientemente grande es la suma de dos cuasiprimas?

Answer 1

Quizá otra persona pueda decir que sí con seguridad, pero yo al menos puedo decir que muy probablemente sí. Si hay un contraejemplo, sería un número extremadamente notable.

Has hecho bien en incluir conjetura de goldbach . Si la conjetura de Goldbach es cierta, todo número par mayor que 2 puede expresarse como la suma de dos primos Impares de al menos una manera.

Es más, todo número par mayor que 6 puede expresarse como la suma de dos primos distintos al menos de una manera. Según la OEIS son los únicos números pares no negativos que no pueden expresarse como una suma de dos primos distintos de dos o más maneras: $$0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 38.$$

También permitir potencias primarias no triviales (en adelante sólo "potencias primarias") ayuda un poco si requerimos que los sumandos sean distintos: $$6 = 2^2 + 2$$ $$10 = 2^3 + 2$$ $$12 = 3^2 + 3 = 2^3 + 2^2$$ $$14 = 3^2 + 5$$ $$38 = 3^3 + 11$$

Entre los números pequeños, los primos son más frecuentes que las potencias primarias, pero aún así podemos observar que a medida que los números se hacen más grandes, hay más opciones disponibles.

Así, mientras que el 14 y el 38 tienen menos opciones que el 12, el 140 y el 380 tienen más que el 12, aunque quizá no tantas como el 120.

Este efecto con los primos es el "cometa" de Goldbach. No es estrictamente creciente, pero sí lo es la media corrida. El hecho de añadir potencias primarias a la mezcla seguramente refuerza el cometa.