¿Hay una visualización para funciones trigonométricas inversas como integrales indefinidas?

Question

El examen de la integral indefinida formulaciones de funciones trigonométricas inversas me doy cuenta de algunas cosas

$$\arcsin(x)=\int_0^x \frac{1}{\sqrt{1-z^2}}dz$$

$$\arccos(x)=\int_x^1 \frac{1}{\sqrt{1-z^2}}dz$$

Podemos decir que estas funciones de "dividir" el rango de integración $[0..1]$ a $x$.

Hay una visualización que expresa gráficamente esta relación?

Quiero decir, aparte de dibujar el gráfico, hay una visualización que de manera significativa se muestra la relación, en un perspicaz e intuitiva?

Del mismo modo,

$$\arctan(x)=\int_0^x\frac{1}{z^2+1}dz$$

$$\mathrm{arccot}(x)=\int_x^\infty\frac{1}{z^2+1}dz$$

De nuevo, estos "dividir" el rango de $[0..\infty]$ a $x$. Hay un diagrama para esto?

Del mismo modo,

$$\mathrm{arcsec}(x)=\int_1^x\frac{1}{z\sqrt{z^2-1}}dz$$

$$\mathrm{arccsc}(x)=\int_x^\infty\frac{1}{z\sqrt{z^2-1}}dz$$

Estos dividir el rango de $[1..\infty]$ a $x$. Hay un diagrama para esto?

Answer 1

Supongamos que la longitud de la hipotenusa de un triángulo rectángulo es $1$ y la longitud de una pierna es $x.$ Entonces el ángulo opuesto al lado de la longitud de la $x$ es $\arcsin x,$ y el ángulo entre ese lado y la hipotenusa es $\arccos x.$ Ya que la suma de los dos ángulos de un triángulo rectángulo es $\pi/2,$ tenemos la identidad de $\arcsin x + \arccos x = \pi/2.$ El mismo tipo de argumento muestra que $\arctan x + \operatorname{arccot} x = \pi/2$ e $\operatorname{arcsec} x + \operatorname{arccsc} x = \pi/2.$

Answer 2

Aquí es un "visual" explicación de $ \arccos $ e $ \arcsin $.

El uso de $ \gamma(t) = (1-t,\sqrt{1-(1-t)^2}) $ donde $ 0 \le t \le 1 $ parametrizar la derecha en la parte superior del círculo unidad. (Usted puede encontrar esta parametrización por medio de una simple aplicación del Teorema de Pitágoras.) A continuación, fije $ x = \cos(\alpha) $ donde $ 0 \le \alpha \le \frac{\pi}{2} $. Ahora calcular el $ \alpha $ en Radianes por

$$ \alpha(x) = L(\gamma _ {[0,1-x]}) = \int_{0}^{1-x} {|\gamma'(s)|ds} = \int_{0}^{1-x} {\sqrt{1 + \left(\frac{-(1-s)}{\sqrt{1-(1-s)^2}}\right)^2}} ds = \int_{0}^{1-x} {\sqrt{\frac{1-(1-s)^2+(1-s)2}{1-(1-s)^2}}} ds = \int_{0}^{1-x} {\sqrt{\frac{1}{1-(1-s)^2}} ds} = \int_{1}^{x} {\frac{-1}{\sqrt{1-s^2}} ds} = \int_{x}^{1} {\frac{1}{\sqrt{1-s^2}} ds} $$

Pero la función que asigna a $ x $ el valor de $ \alpha $ tal que $ x = \cos(\alpha) $ es, por definición, $ \arccos $. De ahí se han derivado

$$ \arccos(x) = \int_{x}^{1} {\frac{1}{\sqrt{1-s^2}} ds} $$

Por lo que la integral se interpreta como la medición de la longitud de la unitcircle de $ (1,0) $ a $ (\cos(\alpha),\sin(\alpha)) $. Este es exactamente el ángulo de $ \alpha $ en radianes.

Ahora vamos a utilizar $ \sin(\alpha) = \cos(\beta) $ donde $ \beta = \frac{\pi}{2} - \alpha $. El ángulo de $ \beta $ se puede encontrar en el triángulo que se extendió por $ (0,0) $, $ (\cos(\alpha),\sin(\alpha)) $ e $ (0,1) $. Como el anterior, podemos calcular el ángulo en radianes por

$$ \beta(x) = L(\gamma_{[1-x,1]}) = \cdots = \int_{1-x}^{1} { \sqrt{\frac{1}{1-(1-s)^2}} ds } = \int_{x}^{0} { \frac{-1}{\sqrt{1-s^2}} ds } = \int_{0}^{x} { \frac{1}{\sqrt{1-s^2}} ds } $$

Se puede interpretar esta integral como la medición de la longitud de la unitcircle de $ (\cos(\alpha),\sin(\alpha)) $ a $ (0,1) $. Este es exactamente el ángulo necesario para completar $ \alpha $ a $ \frac{\pi}{2} $.

Así que la razón de $ [0,1] $ esta dividido en x es la relación $ \sin(\alpha) = \cos(\beta) $ donde $ \beta = \frac{\pi}{2} - \alpha $ en combinación con la analítica, la definición de un ángulo.

Tenga en cuenta que también hemos "a prueba" el siguiente resultado:

$$ \frac{\pi}{2} = \alpha(x) + \beta(x) = \int_0^1{\frac{1}{\sqrt{1-t^2}}dt} $$