Visualización de números p-ádicos

Question

Intento comprender y hacerme una idea de qué huecos llenan los números p-ádicos para completar $\mathbb{Q}$ .

En el transcurso de la misma representé (por $p = 2$ ) la "base" $\{p^k\}_{k\in\mathbb{Z}}$ con respecto a la cual todo número p-ádico puede escribirse

$$ n = \sum_{i = m}^{\infty}a_i p^i$$

con $a_i \in \{0,\dots p-1\}$ - primero sobre la línea real (puntos negros) y luego su "proyección" sobre el círculo con centro $i$ y radio $1$ (puntos azules).

Parece como si los números p-ádicos cada vez más pequeños llenaran "continuamente" el círculo cercano a $0$ mientras que los números p-ádicos cada vez mayores llenarán "continuamente" el círculo cercano a $\infty$ .

Hay una simetría asombrosa en esta foto (al menos para mí): Si trazamos líneas (amarillas) a través de los puntos del círculo correspondientes a $p^{1+k}$ y $p^{1-k}$ estas líneas son paralelas:

Me pregunto qué puede significar esto y si este tipo de visualización tiene algún sentido.

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Puede comparar las imágenes anteriores con el dibujo habitual de la perspectiva (que da lugar a los espacios proyectivos reales):

_{[ <strong>Pregunta al margen: </strong>¿Qué aspecto tiene la curva original en el plano que da lugar -en proyección- al círculo? ¿Es una recta, una parábola o una hipérbola? ¿En función de qué? (No he intentado comprobarlo, pero ¿qué más?)].}

Y finalmente con algunas raíces de unidad:

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Esta imagen representa la simetría (quizá superficial y no "profunda") entre $0$ y $\infty$ como se discute en los comentarios:

Pero la imagen para las raíces de la unidad también es simétrica:

Answer 1

Ver la proyección como un mapa desde la línea real hasta el círculo en $\Bbb{R}^2$ con centro $(0,1)$ y radio $1$ . Entonces el punto $r\in\Bbb{R}$ se asigna a la intersección de la línea $2x+ry=2r$ y el círculo $x^2+(y-1)^2=1$ que es $$(x,y)=\left(\frac{4r}{r^2+4},\frac{2r^2}{r^2+4}\right).$$ Ahora dejemos que $p$ sea un número primo. La recta que pasa por las proyecciones de los puntos $p^{1+k}$ y $p^{1-k}$ tiene pendiente \begin{eqnarray*} \frac{\frac{4p^{1+k}}{(p^{1+k})^2+4}-\frac{4p^{1-k}}{(p^{1-k})^2+4}} {\frac{2(p^{1+k})^2}{(p^{1+k})^2+4}-\frac{2(p^{1-k})^2}{(p^{1-k})^2+4}} &=&\frac{4p^{1+k}((p^{1-k})^2+4)-4p^{1-k}((p^{1+k})^2+4)} {2(p^{1+k})^2((p^{1-k})^2+4)-2(p^{1-k})^2((p^{1+k})^2+4)}\\ &=&\frac{(4p^{3-k}+16p^{1+k})-(4p^{3+k}+16p^{1-k})}{(2p^4+8p^{2+2k})-(2p^4+8p^{2-2k})}\\ &=&\frac{(4-p^2)(p^k-p^{-k})}{2p(p^{2k}-p^{-2k})}=\frac{4-p^2}{2p(p^k+p^{-k})}. \end{eqnarray*} Si $p=2$ entonces la pendiente es igual a $0$ para todos $k$ por lo que todas estas líneas son paralelas. Sin embargo, si $p\neq2$ entonces la pendiente varía como $k$ varía, y las líneas son no en paralelo.

De hecho, su observación resulta mucho menos sorprendente tras una transformación proyectiva.

Consideremos la hipérbola en $\Bbb{R}^2$ dado por $y=\frac{1}{x}$ . Toma dos puntos $a,b\in\Bbb{R}$ tal que $ab=1$ . Las proyecciones verticales de $(a,0)$ y $(b,0)$ en la hipérbola vienen dadas por $(a,\frac{1}{a})$ y $(b,\frac{1}{b})$ . La recta que une estos dos puntos tiene pendiente $-1$ . Esto es geométricamente claro porque la hipérbola es simétrica en la recta $x=y$ y algebraicamente porque $b=\frac{1}{a}$ . La siguiente imagen muestra las líneas de proyección en negro, y las líneas de conexión en amarillo, para $a=2$ y $a=4$ .

Aplicación de la transformación proyectiva $$(x:y:z)\ \longmapsto\ (2z:2y:x+y),$$ y con una simple escala se obtiene una imagen similar para cualquier número real. $p$ -sino una propiedad de las cónicas (reales).