¿Por qué es correcta esta definición de convergencia?

Question

Desde mi entender, una secuencia $\{a_{n}\}$ se dice que converge a $a$ si para todas las $\epsilon > 0$, existe un índice $N$ tal que para todos los $n \geq N$, tenemos

$$|a_{n} - a| < \epsilon.$$

Pero, ¿por qué esto es diferente de la siguiente definición:

Existe un índice $N$ por cada $\epsilon > 0$, de tal manera que para todos los $n \geq N$, tenemos

$$|a_{n} - a| < \epsilon $$

Bastante, me cambié el $\forall \epsilon > 0$ cuantificador con la $\exists N$ cuantificador, y la definición de ser válida, pero ¿por qué?

Answer 1

No estoy seguro de por qué las otras respuestas son la interpretación de su segunda definición como no válida, porque como un hablante nativo de inglés y me lo interpretan exactamente el mismo (lógicamente hablando) como la primera definición. En particular, ¿ no cambiar los cuantificadores, aunque la superficie de texto que aparece a ellos han cambiado. Usted escribió:

Existe un índice $N$ por cada $\epsilon > 0$, de tal manera que para todos los $n \geq N$, tenemos ...

Esto significa que hay algunos $N$ por cada $\epsilon > 0$, no necesariamente el mismo $N$ para todos los $\epsilon > 0$. Así se transmite la misma lógica de la estructura como la otra definición, según la cual para cualquier $\epsilon > 0$ hay un índice $N$ ...

Podría ser válido si usted tenía el siguiente inglés fraseo (que cambia el cuantificadores):

Existe un índice $N$ tales que, para cada $\epsilon > 0$ y para todas las $n \geq N$, tenemos ...

Pero usted no hizo uso de ese fraseo, por lo que no implica nada acerca de la suya.

Sólo por diversión, aquí es una cita (apócrifamente atribuida a Albert Einstein) utilizando exactamente esa frase estructura:

Manténgase alejado de las personas negativas. Tienen un problema para cada solución.

Es claramente entendido por todo el mundo a decir:

Manténgase alejado de las personas negativas, debido a que para cada solución se encontrará algún problema con ella.

Answer 2

Creo que, basado en su redacción y las respuestas o comentarios, que hay un malentendido en la forma en que las cosas se escriben / pensamiento.

Hay una diferencia entre

$\exists N$ tal que $\forall \epsilon>0$, de tal manera que $\forall n>N$, $|a_{n} - a| < \epsilon$

y

$\exists N_\epsilon$ para todos los $\epsilon>0$, de tal manera que $\forall n>N_\epsilon$, $|a_{n} - a| < \epsilon$

Usted escribió la primera (al menos implícitamente), por lo tanto las respuestas que obtuve. Creo que fueron significado de la segunda. La segunda es, aproximadamente, equivalente a la definición inicial que son; indicándolo así. Pero es un poco torpe formulación, abierto a malentendidos (como puedes ver), aunque con la sintaxis adecuada.

Answer 3

Mira a tu segunda definición y tomar un $N$ tal que para cada a$\varepsilon > 0$, $\forall n \geq N$, $|a_n-a| \leq \varepsilon$.

Esto significa que para todos los $n \geq N$, $|a_n - a|$ es tan pequeño como usted desea. Así que tiene que ser cero. Por lo que su definición es equivalente a $$\exists N \in \mathbb{N}, \forall n\geq N, a_n = a$$

es decir, $(a_n)$ es estacionaria. Por supuesto, esto no es equivalente a la convergencia.