¿Existe una función holomorfa y biyectiva del disco unidad en el plano complejo?

Question

¿Existe una función holomorfa y biyectiva entre la bola unidad abierta de <span class="math-container">$\mathbb{C}$</span> y <span class="math-container">$\mathbb{C}$</span>?

El habitual homeomorphisms <span class="math-container">$\psi(z):=\frac{z}{1+|z|}$</span> y su composición con el mapa conjugado no son holomorfa en <span class="math-container">$\mathbb{C}$</span>.

Answer 1

No, porque su inverso sería un mapa holomorphic de <span class="math-container">$\mathbb C$</span> en el disco unidad abierto en <span class="math-container">$\mathbb C$</span>. Por lo tanto, se limita y entonces, por Teorema de Liouville, sería un mapa constante.