Si se amplía una manzana al tamaño de la tierra, los átomos de la manzana tienen aproximadamente el tamaño de la manzana original

Question

Citando al Conferencias Feynman sobre Física - Vol. I :

Los átomos son 1 o $2 \times 10^{8}\ \rm cm$ en el radio. Ahora $10^{8}\ \rm cm$ se llama angstrom (como otro nombre), por lo que decimos que tienen 1 o 2 angstroms (A) de radio. Otra forma de recordar su tamaño es la siguiente: si se amplía una manzana al tamaño de la Tierra, los átomos de la manzana tienen aproximadamente el tamaño de la manzana original.

¿Cómo se sostiene esto?

Supongamos que el radio de una manzana media es de aproximadamente $6\ \rm cm$ ( $0.06\ \rm m$ ). El radio de la Tierra es de aproximadamente $6371\ \rm km$ ( $6371000\ \rm m$ ). Por lo tanto, un $\frac{6371000\ \mathrm{m}}{0.06\ \mathrm{m}} = 106183333.33$ aumento, es decir, un aumento de aproximadamente $10^{-8}$ veces es necesario para ampliar una manzana hasta el tamaño de la tierra.

Si ampliamos un átomo de tamaño digamos 1 angstrom ( $10^{-10}\ \rm m$ ) por $106183333.33$ veces, obtenemos $0.0106\ \rm m$ o $1.06\ \rm cm$ sólo. El átomo no ha sido ampliado al tamaño de la manzana original. ¿Cómo se mantiene la afirmación citada en el libro?

Answer 1

En " parte trasera del sobre "En cálculos como éste, lo único que se puede hacer es mirar los órdenes de magnitud. Como otros han señalado, no todas las manzanas tienen el mismo tamaño, y no todos los átomos tienen el mismo "tamaño". Todo lo que podemos hacer es trabajar con órdenes de magnitud, así que $1\ \rm cm$ y $6\ \rm cm$ (aunque mucha gente en los comentarios está diciendo $3\ \rm cm$ ) deberían considerarse "iguales", ya que podríamos estar tratando con manzanas y átomos de distintos tamaños.

En efecto, si el radio de una manzana es del orden de $10^{-2}\ \rm m$ y si el radio de la Tierra es del orden de $10^6\ \rm m$ entonces nuestro "factor de conversión" (o como usted dice factor de aumento) es del orden de $10^8$ .

Si el radio de nuestro átomo es del orden de un Angstrom, o $10^{-10}\ \rm m$ y aplicando nuestro factor de conversión al inflar nuestra manzana, obtenemos que el átomo es del orden de $10^{-2}\ \rm m$ que es lo que tratábamos de mostrar en primer lugar.

Hay que tener en cuenta que esto se cita como "una forma de recordar su tamaño". Por lo tanto, si no conociéramos el tamaño de un átomo, podríamos tomar el tamaño de una manzana, el tamaño de la tierra, y luego utilizar la derivada $10^8$ para encontrar que el tamaño estimado de un átomo es del orden de $10^{-10}\ \rm m$ . $^*$

Feynman es no diciendo "Coge cualquier manzana y hazla volar hasta el tamaño de la tierra. Verás que los átomos más grandes son exactamente el mismo tamaño que la manzana original". Esto es puramente una herramienta de memoria, o también es una forma de describir el tamaño de un átomo utilizando objetos más familiares. Además, el libro utiliza incluso la palabra "aproximadamente", así que si se tiene en cuenta todo esto, yo diría que el libro es correcto.

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$^*$ Aunque tengo que admitir que tiendo a recordar el tamaño de un átomo, y parece que no puedo mantener en mi cabeza el orden de magnitud del radio de la Tierra. Así que podría utilizar esta herramienta de memoria al revés para recordar que el tamaño de la Tierra es unos 8 órdenes de magnitud mayor que el de una manzana.

Answer 2

Tu pregunta comienza cuestionando si los números coinciden muy bien, y luego procedes a tirar toda la precisión de tus números para demostrar que no lo hacen.

Aunque desechar la precisión en favor de considerar sólo los órdenes de magnitud es útil para la aproximación (y es lo que explican las otras respuestas está bien), resulta que si sólo pasas los números como están escritos, en realidad obtienes una correspondencia bastante precisa.

Tomando el radio atómico como $1.5 \times 10^{-10}~\text{m}$ (promedio del rango dado anteriormente) y el radio de la Tierra como $6371000~\text{m}$ (dado anteriormente), la correspondencia es exacta cuando el radio del objeto es $\approx 30.91~\text{mm}$ (o diámetro $61.83~\text{mm}$ ). El tamaño de una manzana varía según el clima, la variedad y el momento de la cosecha, pero esta cifra se corresponde con una manzana normal de "grado 175", aunque la mayoría de las manzanas que se venden en Estados Unidos son ligeramente más grandes.

Answer 3

Cuando se trata de tales órdenes de magnitud, un factor de 6 no afecta mucho a la imagen general. Además, hay que tener en cuenta que las manzanas tienen radios que suelen ser menores que $6$ cm (véase por ejemplo aquí ). Si tomamos una manzana con un radio de $3$ cm y un átomo con un radio de $2$ angstrom, la "comparación de Feynman" (según sus números) sale bastante bien.

Answer 4

Probemos eso calculando el tamaño de un átomo mediante esa comparación.

Wikipedia dice:

El objetivo de los cultivadores comerciales es producir una manzana de 7,0 a 8,3 cm de diámetro, debido a las preferencias del mercado.

Por lo tanto, utilizamos un radio medio de $3.825~\text{cm}$ o $0.03825~\text{m}$ y el radio de la tierra de $6371000~\text{m}$ para el cálculo.

Entonces el radio de un átomo se calcula como $$ r_{atom} = \frac{r_{apple}^2}{r_{earth}} = \frac{0.03825^2~\text{m}^2}{6371000~\text{m}} $$

Como resultado obtenemos $2.296 \times 10^{-10}~\text{m}$ que está bastante cerca.