misterioso suma de dos secuencias

Question

Vamos

$$S_1 = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \frac{1}{7} + \frac{1}{8} + \cdots$$

$$S_2 = \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n} = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \frac{1}{5} - \frac{1}{6} + \frac{1}{7} - \frac{1}{8} + \cdots$$

Así

\begin{align} S_1 - S_2 = {} & 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \frac{1}{7} + \frac{1}{8} + \cdots \\ & {} - \left[ 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \frac{1}{5} - \frac{1}{6} + \frac{1}{7} + \frac{1}{8} - \cdots \right] \\ = {} & 0 + 1 + 0 + \frac{1}{2} + 0 + \frac{1}{3} + 0 + \frac{1}{4} + \cdots \\ = {} & S_1 \end{align}

Que hace que $S_2$ cero, ¿verdad?

La razón por la que estoy preguntando es porque yo estaba bajo la impresión de que $S_2 = \ln 2$.

¿Qué se me olvida?

Es que $S_1$ es divergente y $S_2$ es convergente y no lo permite?

Answer 1

No se puede modificar los términos de una secuencia que no convergen absolutamente sin cambiar su valor, y usted no puede grupo de la serie así. Por ejemplo:

$$ \sum_{i=0}^\infty (-1)^i = 1 -1 + 1 - 1 +\cdots \ne (1-1) + (1-1) + \cdots $$

que iba a hacer que se vea como la suma converge a cero, pero por encima de la suma diverge claramente.

Answer 2

Estás diciendo $\infty - S_2 = \infty$; por lo tanto,$S_2=0$.

Que no es válido. Si $f$ enfoques $\infty$ luego de los límites de $f$ $f-5$ ambos son el mismo, pero eso no quiere decir $5=0$.

Answer 3

Que hace que $S_2$ cero, ¿verdad ?

No se si $|S_1|=\infty.~$ ;-$)~$ Básicamente, el infinito es para, además de lo $0$ es para la multiplicación. Así, por ejemplo, como $S_1\cdot S_2=S_1$ sí no implica la $S_2=1$ al $S_1=0,~($ya que no se puede dividir exactamente por $0),$, por lo que también se $S_1+S_2=S_1$ sí no implica la $S_2=0$ al $S_1\to\infty.~$ Un método simple de evaluación de $S_2$ puede ser encontrado aquí.