La prueba de "sándwich teorema' de las secuencias

Question

Por favor, tenga aquí conmigo y por favor, trate de leer todo y eliminar cualquier tipo de error o errores como estoy tratando de probar este resultado, pero no estoy seguro de si lo he hecho o no. GRACIAS.

Supongamos que tenemos la siguiente declaración de $(a_n)\rightarrow \ell , (b_n)\rightarrow \ell $ y hemos $$a_n\leq c_n\leq b_n$$ then $(c_n)\rightarrow \ell $. Creo que tengo una prueba de que va como sigue ; $$a_n\leq c_n\leq b_n\leq \ \Rightarrow 0\leq c_n-a_n\leq b_n-a_n $$, as the terms are all larger than 0, taking the absolute value will not change any of the signs of the inequalities. So we have $$0\leq |c_n-a_n|\leq|b_n-a_n|. $$ Ahora considere el $$|b_n-a_n|=|(b_n-\ell )+(\ell - a_n)|\leq |b_n-\ell |+|a_n - \ell | \text{ (by triangle inequality)} .$$ Utilizando la definición de una secuencia tiende a un valor, si $(a_n)\rightarrow \ell $ $\exists N_1\in \mathbb{N} \text{ s.t} \ \forall n>N, |a_n-\ell |<\epsilon \ ,\forall \epsilon >0 .$ Hacemos lo mismo para $(b_n) $, pero la sustitución de $N_1 $ $N_2$ y el uso de la misma $\epsilon $ sin pérdida de generalidad. Así que ahora podemos decir que $$|b_n-a_n|\leq |b_n-\ell |+|a_n - \ell |<2\epsilon . $$ Así que tenemos $$0\leq |c_n-a_n |\leq|b_n-a_n|<\epsilon _0, \text{ where } \epsilon _0=2\epsilon .$$ Así que podemos concluir (usando el teorema del sandwich null secuencias) que $(c_n-a_n)\rightarrow 0 \Rightarrow (c_n)\rightarrow (a_n)\Rightarrow (c_n)\rightarrow \ell $ desde $(a_n)\rightarrow \ell . \ \ \ \square $

Answer 1

Parece ACEPTAR, en la medida que han sándwich teorema de secuencias nulas.

Otra forma puede ser la de elegir una $\epsilon>0$ y el aviso de que hay algo de $N\in \mathbb{N}$ tal que para $n\geq N$, tenemos tanto $|a_n - \ell|<\epsilon$$|b_n-\ell|<\epsilon$. Las dos últimas desigualdades implican $a_n-\epsilon<\ell<b_n+\epsilon$, y también sabemos que $a_n-\epsilon<c_n<b_n+\epsilon$.

Por lo $|c_n-\ell |<2\epsilon$ siempre $n\geq N$. La última muestra de que $(c_n)$ converge a $\ell$

Answer 2

Yo diría directamente que $$ |c_n - \ell| \le |c_n - a_n|+|a_n-\ell|\\=(c_n-a_n)+|a_n-\ell|\\ \le(b_n-a_n)+|a_n-\ell|\\ =|b_n-a_n|+|a_n-\ell|\\ \le|b_n-\ell|+2|a_n-\ell|, $$ usando (respectivamente) de la desigualdad de triángulo; $c_n \ge a_n$; $c_n \le b_n$; $a_n \le b_n$; y el triángulo de la desigualdad de nuevo. Entonces para cualquier $\epsilon>0$, elija $N$ suficientemente grande como para que $|a_n-\ell|,|b_n-\ell| \le \epsilon/3$$n\ge N$; a continuación,$|c_n-\ell|\le \epsilon$$n\ge N$. Desde $\epsilon$ fue arbitraria, esto demuestra $(c_n)\rightarrow\ell$.

Answer 3

Para cualquier $n$ tal que $a_n,b_n \in (l-\epsilon,l+\epsilon),$ convexidad muestra $ [a_n,b_n]\subset (l-\epsilon,l+\epsilon).$ Desde $c_n \in [a_n,b_n], $ tenemos $c_n \in (l-\epsilon,l+\epsilon)$ para el mismo $n.$