¿Cuál es la matriz gamma cinco $\gamma_5$?

Question

Esta página de Wikipedia explica que para cada una de las cuatro principales matrices gamma $\gamma^{\mu}$, puedes encontrar las matrices covariantes $\gamma_{\mu}$ con la ecuación $\gamma_{\mu} = \eta_{\mu\nu}\gamma^{\mu}$. Pero esa fórmula no tiene sentido para $\gamma^5$ porque $\eta_{\mu\nu}$ no tiene tantos índices. Entonces, ¿qué es $\gamma_5$?

Answer 1

El 'cinco' en $\gamma_5$ no es un índice de Lorentz, por lo que no tiene sentido bajarlo o subirlo. Se puede definir de diferentes maneras, una convención es: $$\gamma_5 = \frac{i}{24}\epsilon_{\mu\nu\rho\sigma}\gamma^{\mu}\gamma^{\nu}\gamma^{\rho}\gamma^{\sigma} = \frac{i}{24}\epsilon^{\mu\nu\rho\sigma}\gamma_{\mu}\gamma_{\nu}\gamma_{\rho}\gamma_{\sigma}$$ , donde epsilon es el tensor totalmente antisimétrico.

Answer 2

$\gamma^5$ sería un 'medidor de paridad', que es sensible a los cambios en la orientación debido a transformaciones de coordenadas. $\gamma^5 := i\gamma^0\gamma^1\gamma^2\gamma^3$

si intentas definir $\gamma_5 := i\gamma_0\gamma_1\gamma_2\gamma_3$ probablemente terminarás con $\gamma^5=-\gamma_5$ porque $\det \eta=-1$

(No he hecho los cálculos, por lo que podría estar faltando algún signo extra o similar)

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