$\cos x -1+\frac{x^2}{2!} \geq 0$ por cada $x\in \mathbb{R} $

Question

Estoy teniendo un problema en mostrar que a $\cos x -1+\dfrac{x^2}{2!} \geq 0$ por cada $x\in \mathbb{R}$.

He intentado lo siguiente:

Entiendo que $\dfrac{x^2}{2!}$ es siempre no negativo. Pero $\cos x-1$ puede ser negativo. Así que no se puede concluir nada acerca de su suma.

Sé que $\cos x=1-\dfrac{x^2}{2!}+\dfrac{x^4}{4!}-\ldots$, de modo que $\cos x-1+\dfrac{x^2}{2!}=\dfrac{x^4}{4!}-\dfrac{x^6}{6!}+\ldots$ pero, ¿cómo puedo demostrar que la serie en RHS es no negativo? Necesito un poco de ayuda.

Answer 1

Observe que $f(x)=\cos(x)-1+\frac{x^{2}}{2}$ es aún así es suficiente para mostrar que es no negativo sobre la no-negativos reales. La diferenciación llegamos $f'(x)=x-\sin(x)\ge0$ $f$ es el aumento en la no-negativos reales. Por lo tanto, $f(x)\ge f(0)=0$.

Answer 2

De$\cos^2x+\sin^2x=1^*$,$|\cos x|\le1$, y $$\color{magenta}{f''(x)}=1-\cos(x)\ge0.$$ Los ceros de $f''$ son aislados, en $x=2k\pi$.

Esto implica que $\color{green}{f'(x)}=x-\sin(x)$ es estrictamente monótona creciente, para todos los $x$, excepto en $x=2k\pi$. Como $f'(0)=0$, esta es la única raíz real de $f'$.

Esto implica que $\color{blue}{f(x)}$ es estrictamente decreciente para $x<0$ y estrictamente creciente para $x>0$. El mínimo global de $f$$f(0)=0$, y $$\cos x-1+\frac{x^2}2\ge0.$$

*$\cos^2x+\sin^2x=(\frac{e^{ix}+e^{-ix}}2)^2+(\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i})^2=\frac{e^{2ix}+2+e^{-2ix}}4-\frac{e^{2ix}-2+e^{-2ix}}4=1$

Answer 3

Tal vez esto puede ser considerado como un "precálculo" como respuesta.

Hay geométrico de las pruebas que se $|\sin x| \le |x|$.

(véase por ejemplo este: http://math.stackexchange.com/a/75151/1102)

Combine eso con $\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x$, podemos obtener su desigualdad fácilmente:

$$ \sin^2 (x/2) \le x^2/4 \implies 1 - 2\sin^2 (x/2) \ge 1 - x^2/2 \implies \cos x \ge 1 - x^2/2$$

Answer 4

Una vez que hayas probado el resultado de $x \in \mathbb{R}^{+}$ con el anteriormente mencionado geométrica prueba, solo uso el hecho de que su función es incluso para recibir su comprobante hecho en $\mathbb{R}^{+} \cup \mathbb{R}^{-}$,$\mathbb{R}$.