¿$|f(x)|≤x^2$, Es $f$ continua y diferenciable en $x=0$?

Question

Deje $f:\mathbb R \to \mathbb R$ ser una función tal que $|f(x)|\le x^2$, para todos los $x\in \mathbb R$. Luego, en $x=0$ $f$ tanto continua y derivable ?

Ni idea de cómo empezar. Alguien puede ayudarme?

Answer 1

Usted necesidad de utilizar el teorema del sándwich en la condtition $|f(x)|\le x^2$ con el fin de demostrar que el $f$ es continua y diferenciable en a $x=0$:

1. Continuidad: sabes que $|f(x)|\le x^2$. Sustituyendo $x=0$ usted encuentra que $|f(0)|\le 0$ o $f(0)=0$. Pero esta condición también puede ser escrito como $$|f(x)|\le x^2 \implies -x^2\le f(x)\le x^2$$ and so take limits ($x\a 0$) $$\lim_{x\to 0}-x^2\le \lim_{x\to 0}f(x)\le \lim_{x\to 0}x^2 $$ which gives you $$0\le \lim_{x\to 0}f(x)\le 0 \implies \lim_{x\to}f(x)=0$$ Por lo que el límite de $f$ $x$ $0$ y el valor de $f$ $x=0$ coinciden que implica que $f$ es continua en a $x=0$.
2. La diferenciabilidad: $$\lim_{h\to 0}\frac{f(h)-f(0)}{h}\overset{1.}=\lim_{h \to 0}\frac{f(h)}{h}$$ And now bound again $$\lim_{h \to 0}\frac{-h^2}{h}\le \lim_{h \to 0}\frac{f(h)}{h}\le \lim_{h \to 0}\frac{h^2}{h}$$ which implies that $$\lim_{h \to 0}\frac{f(h)}{h}=0$$ or equivalently that $f'(0)=0$.

Answer 2

Nota: $|f(x)|\leq x^2$ implica $f(0)=0$. A continuación, $$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{|f(x)-f(0)|}{|x|}\leq \lim_{x\rightarrow 0}|x|=0.$$