Sumas divisorias de funciones multiplicativas.

Question

Supongamos que$f$ es una función multiplicativa, es decir,$f(ab)=f(a)f(b)$ siempre que$\gcd(a,b)=1$. ¿Existen técnicas para estimar$$\sum\limits_{d \mid n}f(d) en términos de$f(n)$?

Me interesan los límites inferiores y superiores generales, aparte de los obvios $$\tau(n) \leq \sum\limits_{d \mid n}f(d) \leq \tau(n)f(n).$ $ Lo ideal sería encontrar una función$g$ tal que$$ \lim\limits_{n \to \infty}\frac{\sum_{d \mid n}f(d)}{g(f(n))}=1.

Un caso particular que me interesa es cuando$f$ es la función divisora$\tau$, es decir, el número de divisores distintos de un entero.

Muchas gracias.

Answer 1

Deje$F(n) := \sum\limits_{d \mid n} \tau(d)$ y tenga en cuenta que$F$ es en sí mismo multiplicativo. Luego $$F(p^a) = \sum_{i=0}^{a}\tau(p^i) = \sum_{i=0}^{a}(i+1) = \frac{a^2+3a+1}{2} \geq \frac{(a+1)^2}{2}.$ $ Por lo tanto, si$n=p_1^{a_1} \dots p_k^{a_k}$, entonces$$ F(n) \geq \prod\limits_{i=1}^{k}\frac{(a_i+1)^2}{2} = \left(\frac{1}{2}\right)^{\omega(n)}\tau^2(n). Del mismo modo, se puede considerar que$c$ es el real positivo más pequeño que hace que la desigualdad $$\frac{a^2+3a+1}{2}\leq c (a+1)^2$$ valid for all $a \ geq 1$ y deduce el límite superior$$F(n)\leq c^{\omega(n)}\tau^2(n).

Sin embargo, no puedo decir si estos límites son lo mejor posible.