Si $f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}a_nz^n$ es analítica en $\{z:|z|<1\}\cup\{1\}$$a_n\ge 0$$R>1$.

Question

Si $f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}a_nz^n$ es analítica en $\{z:|z|<1\}\cup\{1\}$$a_n\ge 0$$R>1$.

No estoy muy seguro de cómo se enfoque. Yo pensaba que debería ser relacionados con los puntos singulares, pero no veo cómo. Yo realmente se beneficiarían de cualquier dirección sugerida.

Answer 1

Me interpretar su asunción como: $f$ tiene un holomorphic continuación a un barrio de $z=1$.

Observe que $\sum a_n$ converge y $=f(1)$ porque $f(x)\to f(1)$ $x\to 1-$ real, a través de los valores y $f(x)\ge \sum_{n\le N} a_nx^n\to\sum_{n\le N} a_n$. Del mismo modo, considerando derivados, vemos que $\sum n(n-1)\ldots (n-k+1)a_n = f^{(k)}(1)$ todos los $k\ge 0$.

Por supuesto, la serie $$ \sum_{k\ge 0} \frac{f^{(k)}(1)}{k!} r^k = \sum_{k\ge 0} \frac{r^k}{k!}\sum_{n\ge k} n(n-1)\ldots (n-k+1) a_n = \sum_{n\ge 0} a_n\sum_{k=0}^n \binom{n}{k} r^k = \sum_{n\ge 0} a_n(1+r)^n $$ converge para algunos $r>0$. Por lo tanto $R\ge 1+r$.