Necesito demostrar que la secuencia $$ \frac{\log\big(1+\frac{a}{k}\big)}{\log\big(1+\frac{1}{k}\big)} $$ es creciente para cualquier $a\geq 1$ Así que pensé en definir $$ f(x)=\frac{\log\big(1+\frac{a}{x}\big)}{\log\big(1+\frac{1}{x}\big)} $$ y demostrar que $f'(x)\geq 0$ para todos $x\geq 1$ . A la vista de algunos gráficos que he trazado, esta función parece ser creciente. Además, de la expresión se deduce fácilmente que su límite será precisamente $a$ . Sin embargo, al tratar de demostrar que $f'\geq 0$ Llego a $$ \frac{\log\big(1+\frac{a}{x}\big)}{1+\frac{1}{x}}-\frac{a\log\big(1+\frac{1}{x}\big)}{1+\frac{a}{x}} \overbrace{\geq}^?0. $$ Llegados a este punto, no sé cómo proceder, por lo que se agradecería cualquier pista.
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Para su uso posterior, considere la función $\phi(x) = x \log x$ para lo cual $\phi'(x) = 1 + \log x$ y $\phi''(x) = \frac{1}{x}$ en particular, $\phi$ es convexo en $[1, \infty)$ .
Si $$ f(x) = \frac{\log\bigl(1 + \frac{a}{x}\bigr)}{\log\bigl(1 + \frac{1}{x}\bigr)}, $$ entonces $$ f'(x) = \frac{(x + a) \log\bigl(1 + \frac{a}{x}\bigr) - a(x + 1) \log\bigl(1 + \frac{1}{x}\bigr)}{(x + a)(x + 1)x \log^{2}\bigl(1 + \frac{1}{x}\bigr)}. $$ El denominador es positivo para $x \geq 1$ y el numerador es igual a \begin{align*} (x + a) &\log\bigl(1 + \tfrac{a}{x}\bigr) - a(x + 1) \log\bigl(1 + \tfrac{1}{x}\bigr) \\ &= (x + a) \bigl[\log(x + a) - \log x\bigr] - a(x + 1) \bigl[\log(x + 1) - \log x\bigr] \\ &= (x + a) \log(x + a) - a(x + 1) \log(x + 1) - \bigl[(x + a) - a(x + 1)\bigr]\log x \\ &= (x + a) \log(x + a) - a(x + 1) \log(x + 1) + (a - 1) x \log x \\ &= \phi(x + a) - a \phi(x + 1) + (a - 1) \phi(x). \tag{1} \end{align*} Desde $x + 1 = \frac{a - 1}{a} x + \frac{1}{a} (x + a)$ , la convexidad de $\phi$ implica $$ \phi(x + 1) \leq \tfrac{a - 1}{a} \phi(x) + \tfrac{1}{a} \phi(x + a), $$ o $$ a \phi(x + 1) \leq \phi(x + a) + (a - 1) \phi(x). $$ Es decir, (1) es no negativo, por lo que $f$ es no decreciente (y estrictamente creciente si $a > 1$ , ya que $\phi$ es estrictamente convexo).
