Una matriz veces su conjugada transpuesta

Question

Deje $A:\mathbb{C}^n\rightarrow \mathbb{C}^m$. Estoy tratando de verificar si $\mathcal{N}(A)=\mathcal{N}(AA^H)$ $\mathcal{R}(A)=\mathcal{R}(AA^H)$ son verdaderas o falsas, donde $\mathcal{N}$ es el espacio nulo y $\mathcal{R}$ la gama. Pienso que las desigualdades no son verdad porque usted podría comenzar con el rango de $A$$\mathbb{C}$, pero después de multiplicar $A$ por el conjugado de la transposición, el rango podría ya no ser $\mathbb{C}$. Sin embargo, he tenido éxito en el pensamiento de contra ejemplos. Estoy equivocado en mi forma de pensar? Cualquier ayuda sería genial.

editar: Después de poco más de reflexión, estoy pensando en $\mathcal{N}(A)\neq\mathcal{N}(AA^H)$ pero $\mathcal{R}(A)=\mathcal{R}(AA^H)$. Mi razonamiento para esto fue desde $A:\mathbb{C}^n\rightarrow\mathbb{C}^m$, puedo concluir que $AA^H:\mathbb{C}^n\rightarrow\mathbb{C}^n$. Por lo tanto, los rangos son equivalentes. Además, $\mathcal{N}(A)=\mathcal{N}(A^HA)$, pero $\mathcal{R}(A)\neq\mathcal{R}(A^HA)$ por el mismo razonamiento anterior. Es este un argumento correcto?

Answer 1

Considere la posibilidad de $A:\mathbb{C}^2\to \mathbb{C}^1$, $A=[1,0]$. A continuación,$AA^H=[1]$, lo que sin duda tiene un diferente nullspace de $A$. En la gama, considere la posibilidad de $A^T:\mathbb{C^1}\to\mathbb{C^2}$ y llegan a una conclusión similar.