La intersección de dos objetos

Question

Declaración del problema:

Dos tangentes a la parábola $y=x^2$ son perpendiculares. Demostrar que la intersección entre las tangentes se encuentra en la línea $y=-\frac{1}{4}$.

Solución:

Dos tangentes $y_1=k_1x+m$ $y_2=k_2x+n$ son perpendiculares si $k_1k_2=-1$ así que podemos reducir la segunda tangente a $y_2=-\frac{1}{k_2}x+n$. Antes de encontrar la intersección que es $y_1=y_2$ yo creo que necesitamos otra condición relacionada con $y_1,y_2$ $y=x^2$. Estoy seguro de que tiene que ver con el derivado pero estoy atrapado.

Answer 1

Consejos y hechos aquí:

• $y-y_0=2x_0(x-x_0)$ es tomado como una línea tangente a $f(x)$$(x_0,y_0)$.

• $y-y_1=2x_1(x-x_1)$ es tomado como una línea tangente a $f(x)$$(x_1,y_1)$.

• $y_1=x_1^2,~~y_0=x_0^2$.

• $2x_1=(-1/2x_0)$.

Answer 2

Paso 1: La tangente a la parábola en el punto de $x_0$ tiene la forma

$$f(x)=2xx_0-x_0^2$$

(usted sabe que la pendiente por la diferenciación y un punto de la tangente, es decir,$(x_0,x_0^2)$).

Paso 2: Las tangentes en a $x_0$ $x_1$ se cruzan en $(\frac{x_0+x_1}{2},x_0x_1)$

Answer 3

Las tangentes a los puntos $(x_1,x_1^2)$, $(x_2,x_2^2)$, con $x_1,x_2\neq 0$, $x_1\neq x_2$ son

$$y =2x_i x -x^2_i, $$

para $i=1,2$. En particular, la pendiente se encuentra el uso de $y'(x)=2x$. Como el 2 tangentes que se supone son perpendiculares, entonces

$$4x_1x_2=-1, $$

o $x_1x_2=-\frac{1}{4}$. Todo lo que necesitas es encontrar el punto de intersección entre las líneas: restar $y =2x_2 x -x^2_2 $ $y =2x_1 x -x^2_1 $ llegando a

$$x=\frac{1}{2}(x_2+x_1). $$

Tapón de coordenadas tal en $y =2x_2 x -x^2_2 $ llegando a

$$y=x_2(x_2+x_1)-x^2_2$$

o

$$y=x_2x_1=-\frac{1}{4}$$

como se reivindica.

Answer 4

Una parábola puede ser definido como el conjunto de todos los puntos que tienen la misma distancia de un punto (el foco) y una recta (directriz).

Tenga en cuenta que $y = -\frac 1 4$ es la directriz de la parábola $y = x^2$. Así que vamos a probar que las dos tangentes se cruzan en la directriz.

Un breve Lema: Deje $g$ ser la directriz de la línea y $F$ el foco de la parábola. Deje $l$ ser tangente a la parábola y deje $P$ ser el punto donde se intersecta con la parábola. Deje $A$ la proyección ortogonal de a $P$ a $g$. Entonces es fácil ver desde arriba la definición de una parábola que $l$ es la mediatriz del segmento de la línea de $AF$ (simplemente porque esta mediatriz cruza la parábola en el punto de $P$ y en ningún otro momento). (Final del Lexema)

En nuestro caso tenemos dos tangentes $l_1$ $l_2$ que son perpendiculares. Deje $A_1$ $A_2$ ser los puntos correspondientes de $g$ (como en el lema). A continuación, $A_1 F$ $A_2 F$ también debe ser perpendicular. De modo que el ángulo de $A_1 F A_2$ es un ángulo recto. Por lo tanto, el circuncentro del triángulo $A_1 F A_2$ (que es donde las líneas de $l_1$ $l_2$ se cruzan) es en el segmento de la línea de $A_1 A_2$ (que es parte de la línea de $g$.)