Integrar una función sobre un contorno incluyendo infinitamente muchos polacos, como por ejemplo $\int_{|z|=1}1/\sin(1/z)\,dz$

Question

Podemos encontrar complejos de integración de una función sobre un contorno cerrado por Teorema del residuo si hay solamente finito muchos singularidad dentro del contorno. Pero mi pregunta es ¿cómo encontrar la integración si hay infinita singularidad muchos dentro del contorno? Por favor me ayudas a resolver este tipo de mención del problema a continuación. $$\int_{|z|=1} \frac{1}{\sin(\frac{1}{z})} dz$$

Answer 1

Ok esto es lo que yo haría (supongo que el círculo unitario se recorre en sentido antihorario dirección):

Vamos a denotar $$ f(z)=\frac{1}{\sin(1/z)} $$ Como el OP ya señaló el integrando se comporta de forma muy desagradable en el interior de la unidad de disco. La razón es que el infinito número de polos muestra como $z\rightarrow 0$. Entonces, ¿qué podemos hacer?

Una idea sería buscar en el exterior de la unidad de disco en lugar de en su interior, porque sólo tenemos un polo en $z=\infty$en lugar de un número incontable que no es tan malo.

Por el teorema de los residuos, la countour integral alrededor del polo en el infinito es el negativo de la integral alrededor del círculo unitario. Tenemos $$ \oint_{|z|=1}f(z)dz=-2\pi i\text{Res}(f(z),z=\infty) $$

el residuo en el infinito está dada por $$ \text{Res}(f(z),z=\infty)=\text{Res}(-f(z)/z^2,z=0) $$

el uso de $\sin(z)=z-z^3/3!+z^5/5!+\mathcal{O}(z^7)$ y ampliar la fracción como una serie geométrica obtenemos $\text{Res}(f(z),z=\infty)=-1/6$ y

$$ \oint_{|z|=1}f(z)dz=\frac{\pi i}{3} $$

como se anunció en los comentarios

Answer 2

$I=\oint{|z|=1}f(z)dz=-\oint{|u|=1}\frac{du}{u^2 \sin(u)}=\frac{\pi i}{3}$

(la rotación no es en el sentido trigonométrico, como fuera de los residus dentro de $|z|=1$ | u = 1 | $z=1/u$).

El residuo de $\frac1{u^2 \sin(u)}$ $u=0$ es $\frac16$. Esto está relacionado con la teoría del residuo en el infinito.