¿Tres primos consecutivos forman siempre un triángulo?

Question

Supongamos que $a$ , $b$ y $c$ son tres primos consecutivos cualesquiera que no sean el triple $2$ , $3$ y $5$ . ¿Satisfacen las desigualdades del triángulo: $a + b > c$ ; $b + c > a$ ; $c + a > b$ ? En otras palabras, ¿podemos formar siempre un triángulo cuyos lados sean los $3$ ¿números primos sucesivos? ¿Es un resultado conocido? ¿Dónde puedo leer sobre su demostración o refutación? Gracias de antemano.

Answer 1

Una pista: Utilizar una forma más fuerte del postulado de Bertrand, que establece que $p_ {n+1} < 1.1 \times p_{n}$ para que sea lo suficientemente grande $n$ .

Como tal, $p_{n-1} + p_{n} > p_{n+1}$ satisface la desigualdad del triángulo.

Esto significa que sólo tenemos que comprobar un número finito de casos pequeños, lo que es fácil de hacer.

Answer 2

Dejemos que $p_n,p_{n+1}, p_{n+2}$ sean tres primos consecutivos.

Tiene que demostrar que

$$p_{n+2}< p_{n}+p_{n+1}$$

Esto se deduce inmediatamente de la siguiente versión reforzada del postulado de Betrand: Para $n \geq 7$ hay dos primos entre $n$ y $2n$ .

El caso $2,3,5$ es obviamente un contraejemplo, una fácil comprobación hasta 7 muestra que no hay otro.

P.D. ¿Alguien tiene una buena referencia de esta versión más fuerte de la BP? Se desprende de la última declaración de este Papel pero recuerdo haber visto una vez esa declaración escrita explícitamente

Answer 3

Me encanta responder a viejas preguntas :) ... básicamente:

1. El postulado de Bertrand $p_{n+1} < 2 \cdot p_n$
2. De ( Límite inferior del cociente de dos primos consecutivos ) $$\lim_{n \to \infty } \frac{p_{n+1}}{p_{n}}=1 \Rightarrow \lim_{n \to \infty } \frac{p_{n+1}}{p_{n-1}}=\lim_{n \to \infty } \frac{p_{n+1}}{p_{n}} \cdot \frac{p_{n}}{p_{n-1}}=1$$ o $$p_{n+1} < 2 \cdot p_{n-1}$$ de algunos $n$ .

Como resultado:

$$p_{n-1}+p_{n}\geq 2 \cdot \sqrt{p_{n-1} \cdot p_{n}}= \sqrt{2 \cdot p_{n-1} \cdot 2 \cdot p_{n}} > p_{n+1}$$