Solución analítica (si existe) a este sistema de ecuaciones en derivadas parciales lineales

Question

El sistema es: $$\begin{aligned} \frac{\partial f(x,y)}{\partial x} = \alpha ( f(x,y) - g(x,y) ) \ \frac{\partial g(x,y)}{\partial y} = \beta ( g(x,y) - f(x,y) ) \ \end{alineado} $$ $x \geq0$, $y \geq 0$ y condiciones: $$\begin{aligned} f(0,y) = 0 \ g(x,0) = 1 \ \end{alineado} $$

¿Cómo puedo plantear un problema?

Answer 1

Un posible enfoque sería la primera asume que $f(x,y) = A(x) B(y)$, $g(x,y) = C(x) D(y)$. Esto convierte el problema en la educación a distancia del sistema que son más fáciles de resolver. Si estamos en la suerte, esto nos dará una base para el espacio de solución. Vamos a intentarlo.

La combinación de las ecuaciones obtenemos $$\beta A'(x) / C(x) = - \alpha D'(y) / B(y).$$ La única manera en que esto puede suceder es que cuando los dos lados son iguales a una constante. Será que esta constante no importa, así que simplemente set a uno. Tenemos $$g(x,y) = \beta A'(x)D(y),\quad f(x,y) = - \alpha A(x) D'(y).$$ Conectando en la primera ecuación, obtenemos

$$A'(x) D'(y) = - \alpha A(x) D'(y) - \beta A'(x) D(y)$$ así que $$ {A'(x) + \alpha A(x) \over A'(x) } = -\beta{ D(y) \over D'(y)}.$$ De nuevo coger una constante, decir $\gamma$, que ambos lados son iguales. Llegamos $D(y) = E_{\gamma} \exp(-{\beta \over \gamma} y)$$A(x) = F_{\gamma} \exp({\alpha \over \gamma - 1} x)$. Por lo tanto, la solución es sólo algunos exponencial lineal en $x$$y$.

De haber obtenido esta intuición, que nos permitan utilizar una más informado ansatz $$f(x, y) = A \exp(-i p x -i q y),\quad g(x, y) = B \exp(-i p x -i q y)$$ de la que podemos obtener directamente $$-i A p = \alpha (A - B), \quad -i B q = \beta (B - A)$$ $$\beta A p = - \alpha B q $$ $$-i p q = \alpha q + \beta p $$

que determina las amplitudes $A(p, q)$ $B(p, q)$ como funciones de los impulsos $p, q$ (y también los acoplamientos $\alpha$ $\beta$ del curso), y recurre también a la relación entre el momenta. Solución General se obtiene mediante la adición de (infinito) número de estos llamados plano de onda soluciones con coeficientes recogidos de modo que se satisfagan las condiciones de contorno.