¿Categoría de las clases de isomorfismo?

Question

Existe tal cosa como una categoría de clases de isomorfismo de, por ejemplo, los módulos?

Primer paso en definining morfismos en esta categoría sería identificar dos morfismos $f:M\rightarrow N$ $f':M'\rightarrow N'$ si hay isomorphisms $i:M\simeq M'$ $j:N\simeq N'$ tal que $j\circ f=f'\circ i$. Pero esta equivalencia importancia de no satisface las propiedades como el $$f\sim g\implies f\circ h\sim g\circ h,$$ así que no sé cómo componer dos morfismos en tal categoría. Esta pregunta surgió porque Ext y de la Tor (o derivados de functors en general) dependen de la elección de resoluciones, aunque no tan modulo clases de isomorfismo. Ellos no parecen ser functors en el estándar de sentido, sino un `functor de isomorfismo clases de isomorfismo de las clases."

Answer 1

Quizás parte del problema es (a mi opinión) una confusión de tres diferentes, pero relacionados, problemas. La segunda pregunta acerca de la dependencia de la Ext, Tor (y, presumiblemente, de los demás derivados de functors) en las resoluciones: los argumentos usuales, no sólo para mostrar que el isomorfismo de las clases de la Ext grupos no dependen de la resolución, pero que el (natural) de los mapas Ext entre grupos de diferentes objetos son independientes de la resolución. Un punto es que este "connaturalidad" se confunde a menudo con más coloquial (y útil) sentido de "no hacer irrelevante opciones", etc.

Esto está relacionado con uno de los anteriores comentarios, que muchas cosas estaban siendo identificados por isomorphisms, y que las diversas categorías de finito-dimensional espacios vectoriales ya ilustrar las cuestiones pertinentes. Es decir, podemos considerar la categoría con objetos $k^0$, $k^1$, $k^2$, ... con un campo de $k$, es decir, el elementary linear algebra finito-dimensional espacios vectoriales sobre $k$. Y se puede considerar una gran variedad de mapas entre estos. Como en el anterior comentario, este es un "esqueleto" de la categoría de todos finito-dimensional $k$-vectorspaces. Sin embargo, observe que hacemos no declarar todos los isomorfismo de $k^n$ con el mismo ser de la identidad.

El tercer punto, se menciona en un comentario, pero que sospecho que no era la principal parte de la pregunta(s) como se pidió, de hecho podría ser acerca de categorías derivadas: cómo hacer (por ejemplo) las resoluciones _modulo_homotopy_ los objetos en una categoría, ya que sabemos que homotópica resoluciones de producir los mismos resultados. Mi reacción es que la "natural" de la dependencia de la informática derivados de functors "isomorfismo" debe parecer razonable antes de preocuparse de categorías derivadas.

El estándar de ejercicio útil en la valoración genuina de la connaturalidad es mostrar que finito-dimensional espacios vectoriales son definitivamente no es naturalmente isomorfo a sus dobles... demostrando que no hay lista (más de f.d. $k$-vectorspaces $V$) de isomorphisms $\phi_V:V\rightarrow V^*$ es compatible con todos los homs entre vectorspaces. (Y, pero, igualmente estándar es escribir el natural isomorphisms de estos a su segundo duales.)