Continuidad en el intervalo abierto

Question

Se dice que una función es continua en un intervalo abierto si y sólo si es continua en cada punto de este intervalo.

Pero un intervalo abierto $(a,b)$ no contiene $a$ y $b$ Así que nunca llegamos a $a$ o $b$ y por lo tanto no están definidos, y los puntos que no están definidos no son continuos, en otras palabras $f(a)$ y $f(b)$ no existen, lo que hace que el intervalo $(a,b)$ discontinua.

Entonces, ¿qué dice esta definición, porque pensé que no puede ser continua en $a$ o $b$ ya que no están definidos (un círculo abierto en el gráfico), sino en todos los puntos intermedios $a$ y $b$ todavía puede ser continuo...

Entonces, ¿es sólo continua entre estos puntos $a$ y $b$ ¿y se produce una discontinuidad de salto en estos dos puntos? ¿Por qué entonces dice que es continua en cada punto en $(a,b)$ si no incluimos $a$ y $b$ ?

Los puntos de un intervalo abierto pueden ser abordados tanto por la derecha como por la izquierda, ¿correcto? $(a,b)$ para que sean continuas en las zonas cerradas $[a,b]$ No entiendo esto porque $a$ y $b$ no están definidos en $(a,b)$ .

por favor, ayuden a entender

Answer 1

Como ha dicho en la definición, $f:X\rightarrow Y$ es continua en $(a,b)\subseteq X$ si es continua en cada punto de $(a,b)$ . Desde $a,b\notin(a,b)$ podemos tener una discontinuidad allí. Por ejemplo, la función característica de $(a,b)$ , $\chi_{(a,b)}:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ es continua en $(a,b)$ pero discontinua en $a$ y $b$ .

Answer 2

Consideremos un realmente función simple. De esta manera, podemos ver cómo se utiliza la terminología sin preocuparnos por el comportamiento peculiar de la función.

Dejemos que $f(x)=0$ para todos $x$ . Entonces reclamo:

• $f$ es continua en el intervalo abierto $(0,1)$ .
• $f$ también es continua en $(0,2)$ .
• $f$ es continua en $(1,2)$ .
• $f$ es continua en $(3,4)$ .
• $f$ es continua en $(-2\pi,e)$ .
• Para cualquier número real $a<b$ , $f$ es continua en $(a,b)$ .

Todas estas afirmaciones son ciertas. ¿Ves por qué?

Answer 3

Piensa en la función $\frac 1x$ en el intervalo abierto $(0,1)$ - no se define en $0$ pero esto no impide que sea continua en el intervalo - de hecho es continua porque el intervalo es abierto, y nunca tenemos que lidiar con el valor malo $x=0$ .

La función $\tan x$ para el intervalo $(-\frac{\pi}2,\frac {\pi}2)$ es continua, con "problemas" en ambos extremos.

Tal vez pueda explicar su problema en relación con estas funciones, ya que puede ayudar a dilucidar cuál es realmente su problema.

Answer 4

Puede ser útil pensar en el hecho de que algunas funciones que son continuas en $(a,b)$ puede ampliarse a $[a,b]$ para dar una función continua en el intervalo. Por ejemplo, la función definida por $f(x) = 1$ para todos $x \in (0,1)$ puede extenderse continuamente a una función $g$ definido por $g(x) = 1$ para todos $x \in [0,1]$ . Por otro lado, una función como $h(x) = \frac{1}{x}$ es continua en $(0,1)$ pero no puede extenderse continuamente a $0$ .