Una desigualdad mediante funciones convexas: Si $\frac{a^2}{1+a^2}+\frac{b^2}{1+b^2}+\frac{c^2}{1+c^2} = 1$ entonces $abc \le \frac1{2\sqrt 2}$

Question

Veo esto en un libro de análisis convexo chino.

Supongamos que $a$ , $b$ , $c$ son números reales positivos que satisfacen

\begin {Ecuación} \frac {a^2}{1+a^2}+ \frac {b^2}{1+b^2}+ \frac {c^2}{1+c^2} = 1. \end {Ecuación}

Demostrar que $abc \le \dfrac1{2\sqrt 2}$ .

Como es de un libro de análisis convexo, he intentado demostrarlo utilizando la desigualdad de Jensen. Sin embargo, no se me ocurre una función convexa adecuada. Por lo tanto, probé con AM-GM, pero no puedo obtener un producto $abc$ .

$$(abc)^2\le\frac18\iff8(abc)^2\le1$$ $$\iff\left(\frac{1}{1+a^2}+\frac{1}{1+b^2}+\frac{1}{1+c^2}\right)^3 (abc)^2 \le 1$$

Finalmente, he utilizado el multiplicador de Lagrange para resolver el problema, pero creo que hay alguna solución más elemental.

$$f(a,b,c)=abc$$ $$g(a,b,c)=\frac{1}{1+a^2}+\frac{1}{1+b^2}+\frac{1}{1+c^2}-2=0$$ $$\nabla f(a,b,c)=(bc,ca,ab)$$ $$\nabla g(a,b,c)=\left(-\frac{2a}{(1+a^2)^2},-\frac{2b}{(1+b^2)^2},-\frac{2c}{(1+c^2)^2}\right)$$ $$\because \nabla f = \lambda \nabla g$$ $$\therefore bc = -\frac{2a\lambda}{(1+a^2)^2} \iff abc = -\frac{2a^2\lambda}{(1+a^2)^2}$$ $$abc = -\frac{2a^2\lambda}{(1+a^2)^2} = -\frac{2b^2\lambda}{(1+b^2)^2} = -\frac{2c^2\lambda}{(1+c^2)^2}$$ $$\frac{a}{1+a^2}=\frac{b}{1+b^2}=\frac{c}{1+c^2}=\mu$$ $$a+\frac1a=b+\frac1b=c+\frac1c$$ $$\because \frac{1}{1+a^2}+\frac{1}{1+b^2}+\frac{1}{1+c^2}=2$$ $$\therefore \frac{\mu}{a}+\frac{\mu}{b}+\frac{\mu}{c}=2$$ $$\because \frac{a^2}{1+a^2}+\frac{b^2}{1+b^2}+\frac{c^2}{1+c^2} = 1$$ $$\therefore a\mu + b\mu + c\mu = 1$$ $$\frac1a+\frac1b+\frac1c=2(a+b+c)$$ $$3(a+b+c)=a+\frac1a+b+\frac1b+c+\frac1c=3\left(a+\frac1a\right)$$ $$b+c=\frac1a$$ De la misma manera, $c+a=\dfrac1b$ y $a+b=\dfrac1c$ . Sustituir $a=\dfrac1{b+c}$ en las otras dos ecuaciones. $$c+\frac1{b+c}=\frac1b$$ $$\frac1{b+c}+b=\frac1c$$ $$b(b+c)c+b=b+c$$ $$c+b(b+c)c=b+c$$ Restando una ecuación de otra, obtenemos $b=c$ . Del mismo modo, tenemos $a=b=c$ . Queda sustituirla por la restricción original y calcular el producto.

Cualquier alternativa se agradece la solución.

Answer 1

Una posibilidad es denotar $A=\frac{a^2}{1+a^2}$ etc., por lo que $a^2=\frac{A}{1-A}$ etc. Se nos da $A+B+C=1$ y quieren demostrar que $8ABC\le(1-A)(1-B)(1-C)$ o, tras abrir el paréntesis, sustituir la suma por $1$ y poniendo todo $ABC$ a la izquierda, $$ 9ABC\le AB+BC+AC=(AB+BC+AC)(A+B+C)\,. $$ Ahora sólo hay que utilizar AM-GM para cada expresión entre paréntesis a la derecha por separado.

Answer 2

Enfoque de análisis variacional

Si $$ \frac{a^2}{1+a^2}+\frac{b^2}{1+b^2}+\frac{c^2}{1+c^2}=1\tag{1} $$ entonces las variaciones de $a$ , $b$ y $c$ debe satisfacer $$ \frac{2a\,\delta a}{\left(1+a^2\right)^2}+\frac{2b\,\delta b}{\left(1+b^2\right)^2}+\frac{2c\,\delta c}{\left(1+c^2\right)^2}=0\tag{2} $$ Para maximizar $abc$ para cada $\delta a$ , $\delta b$ y $\delta c$ que satisfagan $(2)$ Debemos tener $$ \frac{\delta a}a+\frac{\delta b}b+\frac{\delta c}c=0\tag{3} $$ Ortogonalidad con $(2)$ y $(3)$ significa que hay un $\lambda$ para que $$ \frac{a^2}{\left(1+a^2\right)^2}=\frac{b^2}{\left(1+b^2\right)^2}=\frac{c^2}{\left(1+c^2\right)^2}=\lambda\tag{4} $$ Desde $\frac{x^2}{\left(1+x^2\right)^2}$ es de dos a uno, para cada valor de $\lambda$ hay dos valores posibles de $a$ , $b$ o $c$ . Utilizando las fórmulas de Vieta, el producto de las dos soluciones de $\frac{x^2}{\left(1+x^2\right)^2}=\lambda$ es $1$ .

Si no es el caso que $a=b=c$ , entonces supongamos que $ab=1$ . Entonces $$ \begin{align} \frac{a^2}{1+a^2}+\frac{b^2}{1+b^2} &=\frac{a^2}{1+a^2}+\frac{1/a^2}{1+1/a^2}\\ &=\frac{a^2}{1+a^2}+\frac1{1+a^2}\\[6pt] &=1\tag{5} \end{align} $$ $(1)$ y $(5)$ implican que $c=0$ . Por lo tanto, debemos tener $a=b=c$ . Es decir, $$ \frac{a^2}{1+a^2}=\frac{b^2}{1+b^2}=\frac{c^2}{1+c^2}=\frac13\tag{6} $$ lo que significa $a=b=c=\frac1{\sqrt2}$ . Por lo tanto, $abc=\frac1{2\sqrt2}$ al máximo. Es decir, $$ abc\le\frac1{2\sqrt2}\tag{7} $$

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Enfoque de análisis convexo

Se nos da que $$ \frac{a^2}{1+a^2}+\frac{b^2}{1+b^2}+\frac{c^2}{1+c^2}=1\tag{8} $$ Caso 1: $a,b,c\le1$

Utilizando la función convexa en $t\le0$ , $u(t)=\frac{e^t}{1+e^t}$ tenemos $$ \begin{align} \frac{(abc)^{2/3}}{1+(abc)^{2/3}} &=\frac{e^{\frac13\left(\log\left(a^2\right)+\log\left(b^2\right)+\log\left(c^2\right)\right)}}{1+e^{\frac13\left(\log\left(a^2\right)+\log\left(b^2\right)+\log\left(c^2\right)\right)}}\\ &\le\frac13\left(\frac{a^2}{1+a^2}+\frac{b^2}{1+b^2}+\frac{c^2}{1+c^2}\right)\\ &=\frac13\tag{9} \end{align} $$ Aplicando $\frac x{1-x}$ a $(9)$ y elevando a la $\frac32$ el poder da $$ abc\le\frac1{2\sqrt2}\tag{10} $$ Caso 2: Uno de $a$ , $b$ o $c$ es mayor que $1$ . Sin pérdida de generalidad, supongamos que $a\gt1$ .

Desde $a\gt1$ tenemos que $b,c\lt1$ . Ahora tenemos $$ \begin{align} \frac{bc}{1+bc} &=\frac{e^{\frac12\left(\log\left(b^2\right)+\log\left(c^2\right)\right)}}{1+e^{\frac12\left(\log\left(b^2\right)+\log\left(c^2\right)\right)}}\\ &\le\frac12\left(\frac{b^2}{1+b^2}+\frac{c^2}{1+c^2}\right)\\ &=\frac12\left(1-\frac{a^2}{1+a^2}\right)\tag{11} \end{align} $$ Aplicando $\frac x{1-x}$ a $(11)$ y multiplicando por $a$ da $$ \begin{align} abc &\le a\frac{\frac12\left(1-\frac{a^2}{1+a^2}\right)}{\frac12\left(1+\frac{a^2}{1+a^2}\right)}\\ &=\frac a{1+2a^2}\\ &=\frac a{\left(1-\sqrt2a\right)^2+2\sqrt2a}\\ &\le\frac1{2\sqrt2}\tag{12} \end{align} $$

Answer 3

Creo que al menos puedo hacer que empieces. Desglosa un poco tu ecuación.

$a,b,c \in \mathbb{R}^+ \rightarrow \frac{1}{1+n^2} \in [0,1],\;\;\; n = a,b,c$

Esto significa que su ecuación original podría considerarse una combinación convexa como la siguiente $a^2\lambda_1 + b^2\lambda_2 +c^2\lambda_3 = 1$ donde el $\lambda$ son las fracciones definidas anteriormente.

Sin embargo, esto es sólo una parte del montaje. Básicamente ha determinado que $\frac{1}{1+a^2} + \frac{1}{1+b^2} + \frac{1}{1+c^2} = 1$ por definición de combinación convexa. Mi interpretación es que lo que realmente se le pide que demuestre es cuál es el valor mínimo que cada $\lambda_i$ puede tomar en una combinación convexa. Esto se debe a que, dada la definición de $\lambda_i$ para este problema, cuando un $\lambda$ alcanza un mínimo, es porque la variable ( $a,b,c$ para un determinado $\lambda$ ) estará al máximo. Cuando se maximiza $a,b,$ y $c$ entonces también maximizas su producto $abc$ .

Considera el caso con sólo dos variables entre 0 y 1 que también deben sumar 1. Quieres minimizar ambas, por lo que la única solución posible es que sean iguales entre sí. Ninguna de las dos puede mejorarse sin apartarse de la restricción del problema (es decir, que sumen 1). Esto se extiende con bastante facilidad a 3 variables, y hay un montón de pruebas para buscar en línea.

Volviendo a los detalles de tu problema: Como todas las expresiones de los coeficientes son equivalentes, puedes suponer $a = b = c$ en el valor extremo. Sabiendo esto:

$\frac{3a^2}{1+a^2} = 1 \rightarrow a = \frac{1}{\sqrt{2}}$ y $abc = (\frac{1}{\sqrt{2}})^3 = \frac{1}{2\sqrt{2}} $