2 º valores más pequeños y courant-fisher

Question

Me encontré con el siguiente argumento en una conferencia acerca de los métodos algebraicos en la combinatoria:

Supongamos que tenemos $L$, el laplaciano de algunas gráfico, y $\mu_1\leq\cdots\leq\mu_n$ son sus autovalores. A continuación, para cada $x\in R^n$, $x\cdot\bar1=0$, tenemos $$ \frac{x^tLx}{x^tx}\geq\mu_2 $$

Creo que el obligado fue motivada por Courant-Fisher y que en realidad, $L$ podría ser cualquier simétrica real de la matriz. Una similar obligado, sólo en la otra dirección y con respecto a la 2ª mayor autovalor se puede encontrar en este documento.

Puede usted explicar cómo fue exactamente esta obligado derivados de Courant-Fisher?

(Soy consciente de la similitud a esta pregunta, pero este argumento podría ser más débil).

Answer 1

Referencia de Courant-Fisher al parecer era engañosa. La explicación es en realidad muy básicos:

Supongamos $(\bar 1, x_2, \ldots, x_n)$ es una base ortogonal de $\mathbb{R}^n$ mediante el uso de vectores propios correspondientes a $\mu_1,\ldots,\mu_n$ (aquí viene la suposición de que $\bar 1$ es un autovector pertenecientes a $\mu_1$). A continuación, cada $x\in\mathbb{R}^n$, $x\perp\bar 1$ puede ser representado como $\alpha_2x_2+\cdots+\alpha_nx_n$. Sustituyendo en el cociente de Rayleigh: $$ \frac{x^tLx}{x^tx} = \frac{(\alpha_2x_2+\cdots+\alpha_nx_n)^tL(\alpha_2x_2+\cdots+\alpha_nx_n)}{(\alpha_2x_2+\cdots+\alpha_nx_n)^t(\alpha_2x_2+\cdots+\alpha_nx_n)} = \frac{\mu_2\alpha_2\|x_2\|^2+\cdots\mu_n\alpha_n\|x_n\|^2}{\alpha_2\|x_2\|^2+\cdots\alpha_n\|x_n\|^2} \geq \frac{\mu_2 (\alpha_2\|x_2\|^2+\cdots\alpha_n\|x_n\|^2)}{\alpha_2\|x_2\|^2+\cdots\alpha_n\|x_n\|^2}=\mu_2 $$