Límite de $\frac1n\left(1+\frac1{\sqrt[n]{2}}+\frac1{\sqrt[n]{3}}+\dotsb+\frac1{\sqrt[n]{n}}\right)$ cuando $n\to\infty$

Question

Calcule este límite $$\lim\limits_{n \to \infty} \frac{1}{n}\left(1+\frac{1}{\sqrt[n]{2}}+\frac{1}{\sqrt[n]{3}}+\dotsb+\frac{1}{\sqrt[n]{n}}\right).$$

Creo que dentro del paréntesis, cada límite es $1$ y hay $n$ de ellos, por lo que su suma se limita a $n$ . También,

$$\lim\limits_{n \to \infty}\frac{1}{n}=0.$$

Por lo tanto, creo, $$\lim\limits_{n \to \infty} \frac{1}{n}\left(1+\frac{1}{\sqrt[n]{2}}+\frac{1}{\sqrt[n]{3}}+\dotsb+\frac{1}{\sqrt[n]{n}}\right) = 0.$$

¿Esta solución es correcta? Si es así, ¿cómo probarla?

Answer 1

En realidad el límite es $1$ porque $\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{n}=1$ y $$ \frac{n}{\sqrt[n]{n}}\leqslant1+\frac{1}{\sqrt[n]{2}}+\frac{1}{\sqrt[n]{3}}+\dotsb+\frac{1}{\sqrt[n]{n}}\leqslant n. $$ Tenga en cuenta que su enfoque también produciría el límite $0$ para la secuencia $$ \frac1n\cdot\left(1+1+\cdots+1\right), $$ para cada número de términos en el paréntesis.

Answer 2

Dejemos que $x_n = \dfrac{1}{n^{1/n}}$ , entonces se puede mostrar : $x_n \to 1$ por varios medios, y luego aplicar el teorema de Cesaro para obtener el límite $1$ .