Determinar $\lim\limits_{x\to 0, x\neq 0}\frac{e^{\sin(x)}-1}{\sin(2x)}=\frac{1}{2}$ sin usar L ' Hospital

Question

Cómo probar

$$\lim\limits_{x\to 0, x\neq 0}\frac{e^{\sin(x)}-1}{\sin(2x)}=\frac{1}{2}$$

¿sin utilizar L'Hospital?

Usando a l ' hospital, es muy fácil. Pero, no se esto. Probé con diferentes enfoques, por ejemplo escribir $$e^{\sin(x)}=\sum\limits{k=0}^\infty\frac{\sin(x)^k}{k!}$ y $$\sin(2x)=2\sin(x)\cos(x)$ $ y obtener $$\frac{e^{\sin(x)}-1}{\sin(2x)}=\frac{\sin(x)+\sum\limits{k=2}^\infty\frac{\sin(x)^k}{k!} }{2\sin(x)\cos(x)}$ $ pero parece ser ingrato. ¿Cómo puedo calcular el límite en su lugar?

Cualquier Consejo será apreciado.

Answer 1

Desde el conocido límite $$ \lim\limits{u\to 0} \frac {e ^ u-1} {u} = 1, uno de $$ $$ \lim\limits{x\to 0} \frac {e ^ {\sin x}-1}{\sin(2x)} = \lim\limits {x\to 0} \left (\frac {e ^ {\sin x} -1} {\sin x} \cdot\frac {\sin x}{\sin(2x)} \right) = \lim\limits {x\to 0} \left ( \frac{e^{\sin x} -1} {\sin x} \cdot\frac {1} {2\cos x} \right) = \color {rojo} {1} \cdot\frac {1} {2}. $$

Answer 2

Es mucho más simple; reescribe tu facción como $$\frac{\mathrm e^{\sin x}-1}{2\sin x\cos x}=\frac{\mathrm e^{\sin x}-1}{\sin x}\,\frac1{2\cos x}.$$ ajuste $u=\sin x$, la primera fracción es la tasa de variación de $\mathrm e^u$: $$\frac{\mathrm e^{\sin x}-1}{\sin x}=\frac{\mathrm e^u-1}{u} \xrightarrow[\,u\to 0\,]{}1,\quad \frac{1}{2\cos x}\xrightarrow[\,x\to 0\,]{}\frac1{2}$ $ por lo tanto, el límite es de $\dfrac12$.

Answer 3

ps

Answer 4

Sugerencia Que $f(x)=e^{sin(x)}-1$. Entonces

$$\lim_{x \to 0} \frac{f(x)-f(0)}{x-0}=f'(0)$$

Asimismo, $$\lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin(2x)}$ $ puede fácilmente deducirse desde el límite de funciones trigonométrico fundamental.

Alternativamente cancelando $\sin(x)$ llegar

$$\frac{e^{\sin(x)}-1}{\sin(2x)}=\frac{\sin(x)+\sum\limits{k=2}^\infty\frac{\sin(x)^k}{k!} }{2\sin(x)\cos(x)}=\frac{1+\sum\limits{k=2}^\infty\frac{\sin(x)^{k-1}}{k!} }{2\cos(x)}$$

Answer 5

Sugerencia: Si continúo con su enfoque $$\frac{e^{\sin(x)}-1}{\sin(2x)}=\frac{\sin(x)+\sum\limits{k=2}^\infty\frac{\sin(x)^k}{k!} }{2\sin(x)\cos(x)}=\frac{1+\sum\limits{k=2}^\infty\frac{\sin(x)^{k-1}}{k!} }{2\cos(x)}$ $

Ahora puede configurar $x=0$, pero tendrás que justificar este paso.