Pregunta: Si $L : V W $ es un mapeo lineal y $\{L(v_1), \dots, L(v_n)\}$ es linealmente independiente, entonces $\{v_1, \dots, v_n\}$ es linealmente independiente.
Prueba:
1. $\{L(v_1), ... L(v_n)\}$ es linealmente independiente implica $d_1L(v_1) + \cdots+ d_nL(v_n) = 0$ sólo tiene la solución trivial.
2. Esto se puede reescribir como $L(d_1v_1 + \cdots+ d_nv_n) = 0$ .
3. Dado que los mapeos lineales envían cero a cero, tenemos $d_1v_1 +\cdots + d_nv_n = 0$ donde la única solución es la solución trivial.
4. Así $\{v_1, ..., v_n\}$ es linealmente independiente.
No estoy seguro de si puedo pasar de los pasos 2 a 3 porque el $d_1 ,... ,d_n$ representan cualquier número real, y como la ecuación ha cambiado, el $d_1, ..., d_n$ también podrían cambiar para ajustarse a la nueva ecuación y ya no son todos ceros.
Agradecería cualquier comentario. Gracias
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Usted tiene que $d_1v_1 + \cdots +d_nv_n \in \text{Nul}(L)$ pero no se puede decir inmediatamente que $d_1v_1 + \cdots + d_nv_n = 0$ . Podría ser más fácil comprobar el contrapositivo, es decir, si $\{v_1, \dotsc, v_n\}$ es un conjunto dependiente en $V$ entonces $\{L(v_1), \dotsc, L(v_n)\}$ es un conjunto dependiente en $W$ .
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¿Podría dar alguna pista sobre cómo demostrar esta afirmación?
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Empezar con una combinación lineal no trivial $d_1v_1 + \dotsc +d_nv_n = 0$ donde no todos los $d_i = 0$ . Aplicar $L$ Utiliza la linealidad y mira lo que obtienes.
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Pero ¿por qué no puedo pasar de L(d1v1+...+dnvn) = 0 a d1vn+...+dnvn=0?
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Tomemos la transformación lineal $L : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ definido por $L(x,y) = x$ . Se puede comprobar que es lineal; sin embargo, cualquier vector de la forma $(0,y)$ se asignará a $0$ . Este es un ejemplo en el que no se puede concluir que $L(x,y) = 0 \implies (x,y) = (0,0)$ .