4 votos

Acerca de los mapas lineales y la independencia lineal

Pregunta: Si $L : V W $ es un mapeo lineal y $\{L(v_1), \dots, L(v_n)\}$ es linealmente independiente, entonces $\{v_1, \dots, v_n\}$ es linealmente independiente.

Prueba:

1. $\{L(v_1), ... L(v_n)\}$ es linealmente independiente implica $d_1L(v_1) + \cdots+ d_nL(v_n) = 0$ sólo tiene la solución trivial.

2. Esto se puede reescribir como $L(d_1v_1 + \cdots+ d_nv_n) = 0$ .

3. Dado que los mapeos lineales envían cero a cero, tenemos $d_1v_1 +\cdots + d_nv_n = 0$ donde la única solución es la solución trivial.

4. Así $\{v_1, ..., v_n\}$ es linealmente independiente.

No estoy seguro de si puedo pasar de los pasos 2 a 3 porque el $d_1 ,... ,d_n$ representan cualquier número real, y como la ecuación ha cambiado, el $d_1, ..., d_n$ también podrían cambiar para ajustarse a la nueva ecuación y ya no son todos ceros.

Agradecería cualquier comentario. Gracias

1 votos

Usted tiene que $d_1v_1 + \cdots +d_nv_n \in \text{Nul}(L)$ pero no se puede decir inmediatamente que $d_1v_1 + \cdots + d_nv_n = 0$ . Podría ser más fácil comprobar el contrapositivo, es decir, si $\{v_1, \dotsc, v_n\}$ es un conjunto dependiente en $V$ entonces $\{L(v_1), \dotsc, L(v_n)\}$ es un conjunto dependiente en $W$ .

0 votos

¿Podría dar alguna pista sobre cómo demostrar esta afirmación?

0 votos

Empezar con una combinación lineal no trivial $d_1v_1 + \dotsc +d_nv_n = 0$ donde no todos los $d_i = 0$ . Aplicar $L$ Utiliza la linealidad y mira lo que obtienes.

2voto

gimusi Puntos 1255

El paso está permitido si la transfomación es inyectiva es decir $L(x)=0 \implies x=0$ .

Para más información, consulte Demostración de que una transformación lineal de uno a uno asigna un conjunto linealmente independiente a otro conjunto linealmente independiente .

2voto

Chris Custer Puntos 67

Como en los comentarios, empiece por $d_1v_1+\dots +d_nv_n=0$ . A continuación, utilice $L(0)=0$ y linealidad para obtener $d_1L(v_1)+\dots +d_nL(v_n)=0$ . Entonces, por independencia lineal del $L(v_i)$ El $d_i$ son todos cero...

0 votos

Pero ¿por qué no puedo pasar de L(d1v1+...+dnvn) = 0 a d1vn+...+dnvn=0?

0 votos

Como señala @gimusi, esto es cierto si $L$ es inyectiva; pero no en general (algunas transformaciones lineales tienen núcleo no trivial...).

0 votos

Por ejemplo, considere una proyección. Además, en este problema se empieza suponiendo que se tiene una combinación lineal de las $v_i$ igual a cero: no hace falta demostrarlo...

i-Ciencias.com

I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.

Powered by:

X