Algunas funciones con propiedades de valor intermedio son continuas.

Question

La función $f$ se define a partir de un intervalo a $\mathbb{R}$, e $f$ toma en cada valor de sólo un número finito de veces y satisface el valor Intermedio de la propiedad, probar $f$ es continua.

Esta es una generalización de esta pregunta aquí, pero no podemos utilizar el método similar para probarlo porque esta función no es monótona. De hecho, no estoy seguro de si esta proposición es verdadera, sin embargo, no puedo encontrar contador de ejemplo.

Answer 1

Supongamos $f$ se define en $[a,b]$. Deje $\varepsilon > 0$$x\in (a,b)$.

Elija $y> x$, de tal manera que wlog $f(y)> f(x)+\frac{\varepsilon}{2}$. Por el valor intermedio de la propiedad no es $v\in (x,y)$ tal que $f(v) = f(x)+\frac{\varepsilon}{2}$. Desde $f$ toma en cada valor sólo finitely a menudo hay un menor $v>x$ con esta propiedad. La aplicación del valor medio de la propiedad de nuevo es fácil ver que ahora las $f((x, v]) \subset [-\infty, f(v)]$

Si no es $z\in (x, v)$ tal que $f(z)< f(x)-\frac{\varepsilon}{2}$ repetir el argumento con el $f(x)-\frac{\varepsilon}{2}$ que $f((x, v]) \subset [f(w), f(v)]$ algunos $ w$ $f(w) = f(x)-\frac{\varepsilon}{2}$

Ahora repita el razonamiento para $y<x$ (si $x\neq a$).

Entonces es fácil ver que hay $\delta > 0 $ tal que $f((x-\delta, x+\delta)) \subset (f(x) -\varepsilon, f(x) +\varepsilon) $