¿Imagen inversa del idempotent elemento contiene un elemento idempotente?

Question

Supongamos que $f\colon \oplus A_i\to\oplus B_j$ es un homomorfismo del anillo, donde $A_i,B_j$ son anillos locales. Ambos lados tienen sumandos marcas finito de muchos verificación. Supongamos un idempotent $x$ (es decir, $x=x^2$) es la imagen de $f$. ¿Se puede siempre elegir un idempotente en $f^{-1}(x)$?

Answer 1

De hecho, queremos levantar las idempotentes de $(\oplus_{i=1}^nAi)/I$, donde $I$ es un ideal de $\oplus{i=1}^nAi$, $\oplus{i=1}^nAi$. Desde $I=\oplus{i=1}^nI_i$ con $I_i\subset A_i$ ideales, la cuestión se reduce a los siguientes

Que $A$ ser un anillo local. Los idempotents Levante modulo cualquier ideal $J\subset A$.

Si $a+J$ es idempotente, entonces ya $A/J$ también es local obtenemos $a\in J$ o $1-a\in J$.

Answer 2

$B_i $ Son locales, el conjunto de idempotentes de $B_i $ tiene tan sólo 0 y 1. Así $x=(x_1,x_2,...,x_n,...) $ donde $x_i $ son 0 o 1 y casi todos son 0. Así $x$ tiene una preimagen de idempotentes.