Axiomatización de la medición de ángulos en espacios vectoriales reales

Question

En álgebra lineal / geometría analítica es común definir el ángulo entre dos vectores $u,v \in V$ de un espacio vectorial euclidiano $V$ por $\angle (u,v) := \arccos \frac{(u,v)}{\|u\| \cdot \|v\|}$ . ¿Existe una teoría general análoga a la teoría de la medida que se abstraiga de esta cartografía concreta permitiendo que una medida de ángulo sea cualquier función que satisfaga las propiedades más importantes de la anterior?

Estoy pensando en una definición como ésta:

Dejemos que $V$ sea un espacio vectorial real. Un mapeo $\angle : V \times V \to \mathbb{R}$ se llama una medida de ángulo, si satisface los siguientes axiomas para todo $u,v \in V$ y $\lambda, \mu \in \mathbb{R}^+$ :

• $\angle(u,v) = \angle (v,u)$
• $\angle(\lambda u, \mu v) = \angle(u,v)$
• $\angle(u,w) + \angle(w,v) = \angle(u,v)$ donde $w = \lambda u + \mu v$
• $\angle(u,v) \leq \angle(u,w) + \angle(w,v)$ para todos $w$
• ...

¿Existe un conjunto finito de tales axiomas que caracterice las medidas angulares habituales procedentes de productos internos (en espacios de dimensión finita)? ¿Existen ejemplos interesantes de medidas angulares que no provengan de productos internos?

Answer 1

Aquí está una versión detallada de mis comentarios.

Trabajaré bajo el supuesto de que $V$ es de dimensión finita, de dimensión $n$ . Dejemos que $S^{n-1}$ denotan la esfera unitaria estándar en $V$ .

En primer lugar, observe que la función $\angle$ induce una métrica en la esfera $S=S^{n-1}$ . Debido a su tercera condición, esta métrica tiene la propiedad de que los grandes círculos en $S$ son geodésicas para esta métrica. Tales métricas se llaman "proyectivas", creo. A la inversa, dada una métrica proyectiva $\angle$ en $S$ se amplía a $V$ mediante la fórmula $$ \angle(tu, s v)=\angle(u, v) $$ donde $u, v\in S$ y $s, t>0$ . La función angular resultante en $V$ satisfará todas sus necesidades.

Añadiré dos condiciones a la métrica proyectiva $\angle$ :

1. $\angle$ define la topología estándar en $S$ (esta condición puede relajarse, pero no vamos a entrar en ello).

2. Si $u, v, w\in S$ no pertenecen a un gran círculo (equivalentemente, a un subespacio bidimensional común) entonces $$ \angle(u,v)+ \angle(v,w)> \angle(u,w). $$

Métrica proyectiva $\angle$ satisfaciendo estas 2 condiciones adicionales se denominan "desarguesianas".

Obsérvese que se puede añadir un requisito adicional (y bastante razonable) que $$ \angle(u,v)=\angle(-u, -v). $$ En otras palabras, $\angle$ desciende a una métrica en el espacio proyectivo $RP^{n-1}$ .

Hilbert en su 4º problema pidió una clasificación de las métricas de Desargusuan (estaba permitiendo métricas en dominios más generales que $S$ de línea, pero se interesó principalmente por el caso cuando $S$ tiene dimensión 2 o 3).

Hay dos artículos muy buenos que resumen la historia del cuarto problema de Hilbert: aquí y aquí .

En resumen: Busemann encontró una forma muy general de construir métricas de Desargusuan sobre la esfera (y espacios más generales, el espacio real-proyectivo de la línea y los dominios convexos en ella) utilizando medidas continuas sobre el espacio de hiperplanos (lineales) en $V$ . Más concretamente, Busemann definió $\angle(u, v), u, v\in S$ como la medida total de los hiperplanos que separan $u$ de $v$ .

Pogorelov demostró que todas las métricas de Desargusuan (sujetas a algún supuesto de regularidad leve en dimensiones superiores) aparecen a partir de la construcción de Busemann. (Ambartzumian dio una prueba alternativa en el caso de que $n=3$ .) Hasta donde yo sé, la prueba de Pogorelov se considera una solución del cuarto problema de Hilbert. Hay muchos otros resultados y problemas abiertos en este campo, deberías leer los artículos de estudio enlazados para obtener más detalles.