pregunta acerca de Lebesgue ' s integral

Question

deje $f(x)$ ser un acotado medible función definida en $\mathbb{R}$, y luego definir

$$F(x)=\int_0^xf(t)dt,\ \ x\in\mathbb{R}$$

Podemos ver que $F(x)$ es absolutamente función continua y por algunos resultados clásicos sabemos $F$ es una.s. diferenciable y la integral de su derivada en un intervalo de $[a, b]$ es igual a la diferencia de $F(b)-F(a)$. Me gustaría saber si tenemos

$$F'(x)=f(x),\ \ a.s.$$

Ya tenemos

$$\int_0^xf(t)dt=\int_0^xF'(t)dt,\ \ \forall x\in\mathbb{R}$$

para dos funciones medibles. ¿Cómo podríamos concluir que

$$F'(x)=f(x),\ \ a.s.$$

Muchas gracias!

Answer 1

Primero de todo, vamos a definir dos medidas de $\mu(A) = \int_A f \;\mathrm d\lambda$ $\nu(A) = \int_A F' \;\mathrm d\lambda$ donde $\lambda$ es la medida de Lebesgue. Deje que nos limitemos nuestra atención a un arbitrario delimitada intervalo de $[a,b]$. Ya que, debido a la igualdad que tienen en la po $\mu$ $\nu$ coinciden en $[a,x)$, entonces coinciden para cualquier subconjunto de Borel $[a,b]$. Por lo tanto $$ \int_A f\;\mathrm d\lambda = \int_A F'\;\mathrm d\lambda\qquad \forall \text{ Borel }\subseteq[a,b] $$ y como resultado, $f = F'$ en $[a,b]$ $\lambda$-una.e. Debido a que el punto de que $[a,b]$ es arbitrario, obtenemos que $f = F'$ $\lambda$-una.e. en $\Bbb R$.