Sea $\pi: S^n \to \mathbb{R} \textbf{P}^n$ mapa de $n$-lo que el espacio real proyectivo de dimensión $n$ de $\pi(x)= { rx : r \in \mathbb{R} }$. ¿Es cierto que $n \geq 1$ no existe un mapa continuo $f: \mathbb{R} \textbf{P}^n \to S^n$ tal que $\pi \circ f$ es la identidad en $\mathbb{R} \textbf{P}^n$? ¿En otras palabras, $\pi$ no es una retractación $n \geq 1$?
Respuesta
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John Hughes
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Si hubiera un mapa (al menos para $n > 0$), a continuación, a partir de la secuencia de mapas $$ \Bbb RP^n \xrightarrow{f}^n \xrightarrow{\pi} \Bbb RP^n $$ tenemos inducida por los mapas en $\pi_1$ o $H_1$ (con $\Bbb Z$ o $\Bbb Z / 2\Bbb Z$ coeficientes)
$$ H_1(\Bbb RP^n) \xrightarrow{f_{*}} H_1(S^n) \xrightarrow{\pi_{*}} H_1(\Bbb RP^n) $$ es decir, $$ \Bbb Z / 2\Bbb Z \xrightarrow{f_{*}} 0 \xrightarrow{\pi_{*}}\Bbb Z / 2\Bbb Z $$ donde el mapa compuesto $\pi_* f_*$ es el mapa de identidad en $\Bbb Z / 2\Bbb Z$ porque es un mapa inducida por la identidad homeomorphism en $\Bbb RP^n$. Eso es imposible, porque la identidad homomorphism en $\Bbb Z / 2\Bbb Z$ no se tiene en cuenta a través del grupo cero.
(Exactamente el mismo argumento se aplica si usted reemplace$H_1$$\pi_1$.)
