componente conectado de $\rm{GL_n}(\mathbb{R})$

Question

Posible duplicado:
¿Cuántos componentes conectados tiene $\mathrm{GL}_n(\mathbb R)$ ¿tiene?

Lo sé. $\rm{GL_n}(\mathbb{R})$ no está conectado y los componentes conectados son $C_1 =\{A:\rm{det}\ A>0\}$ y $C_2=\{A:\rm{det} \ A<0\}$ .

Dado que $C_1= \rm{det}^{-1}(0,\infty)$ y $C_2=\rm{det}^{-1}(-\infty,0)$ , $\rm{det}:M_n(\mathbb{R})\to \mathbb{R}$ .

Pero, ¿cómo se puede demostrar que $C_1$ y $C_2$ están conectados en $\rm{M_n}(\mathbb{R})$ ?

Gracias.

Answer 1

Dadas dos matrices invertibles, considere su descomposiciones de valores singulares . Podemos cambiar continuamente sus valores singulares (no nulos) para $1$ . Cada matriz ortogonal es una rotación o puede escribirse como una rotación por una reflexión en, por ejemplo, la primera componente. Las reflexiones se cancelan si hay dos. Queda una sola reflexión si la matriz original tiene determinante negativo, por lo que si las dos matrices tienen determinantes del mismo signo, ahora ambas tienen o no tienen una reflexión. Sólo queda transformar continuamente las rotaciones a la identidad. Ahora ambas matrices se han transformado continuamente a la identidad o a la misma reflexión. Por lo tanto, cada componente está conectada por un camino y, por lo tanto, está conectada.